离散数学复习试卷习题与答案

离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1.求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于:。8证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于:。#02 .对一列2+1个不同整数，任意排列，证明一定存在长为+1的上升子序列或下降子序列。证：设此序列为：4，%必，从开始上升子序列最长的长度为毛，下降子序列最长的长度为此，每一个为（4=1,2,/+i）都对应了（打”）。若不存在长为”+1的上升子序列或下降子序列，那么形如,以）的不同点对至 多 有 个，而%有2+1个，则由鸽笼原理知，必有a,吗（1口/42+1）同时对应（X”）=（毛,力），由于4 若%,则若至少比七大1,若4%,则%至少比”大1,这均与（如外）=区,匕）矛盾。故原命题成立。#3.求 1,2,100中不被3、4、5整除的个数。解：设A表示 1,2,100中被3整除的数的集合，8表示 1,2,100中被4整除的数的集合，C表示 1,2,100中被5 整除的数的集合，则网=3姻=25,I。=20|A c q=8,怛c q=5,|C c W =6,|A c B c C j=l,进而有|A k jB 3(x)(2)设a：爱因斯坦；6：1 9 5 2；c:狭义与广义相对论浅说；A(x,y,z):x于v年写完z ；则原式子可翻译成逻辑式子A(a,h,c)o8 .求下述公式的前束范式和S kole m标准形。(*)P(x,y)c(V z)Q(z)解：(3x)P(x,y)c(V z)Q(z)=(土)P(x,y)f(V z)Q(z)A(VZ)Q(Z)(3x)P(x,y)=(T 五)P(x,y)v (V z)Q(z)A(V z)Q(z)v 0 x)P(x,y)=(V x)P(x,y)v (V z)Q(z)A(0Z)Q(Z)V(玉)P(X,y)=(Vx)(Vz)(-1P(x,y)v Q(z)A 0 z)(玉)(Q(z)v P(x,y)=(V x)(V z)(P(x,y)v Q(z)A 0 u)0 y)(Q()v P(v,y)=(V x)(Vz)(3W)(3 v)(-nP(x,y)v Q(z)A(QQ)v P(v,y)故该公式的前束范式为(V x)(V z)(Bw)(Bv)(-1P(x,y)v g(z)A(IQ(U)v P(v,y);S kole m 标准形为(P(x,y)vQ(z)A(Q(/(x,z)v P(g(x,z),y)。#9.将下列命题符号化，并证明其论证是否正确。不存在白色的乌鸦；北京鸭是白色的。因此，北京鸭不是乌鸦。解：令P(x):x是白色的；Q(x):3是乌鸦；R(x):x是北乐鸭。则上述命题可符号化为：T3 x)(P(x)A Q(x),x)(R(x)-P(x)=(V x)(R(x)-Q(x)下面，我们证明上述命题是正确的。(1)(Vx)(R(x)-P(x)(P)(2)R(y)f P(y)(US)(3)R(y)(CP)(4)P(y)(分离规则)(5)T玉)(P(x)A Q(x)=(V x)(P(x)VQ(x)(量词转换律)(6)P(y)vQ(y)(U S)(7)Q(y)(T,(4)(8)R(y)fQ(y)(9)(V x)(R(x)Q(x)(U G)#三、二元关系10.（1）举出正整数集上一种关系，它是等价关系但不是偏序关系；（2）举出正整数集上一种关系,它是偏序关系但不是等价关系（3）画出集合A=123,4,6,8,12,24）上整除关系的H a s s e图。（4）等价关系与划分关系解：（1）正整数集上模3的同余关系。(2)正整数集上的整除关系。(3)82111.（1）举出正整数集上一种二元关系，它是等价关系又是偏序关系；（2）画出7?=（a,Z?）a|Z?,a,b e 4 的 H a s s e 图，其中 A =1,2,3,4,6）。解：（1）正整数集上的恒等关系。2112.设A=1,2,3,4,定义A上的一个二元关系R如下:R=,(1)画出R的关系图，并写出R的关系矩阵；(2)求R2,(3)求r(R),s(R),t(R)。解：(1)0 1 0 0、1 0 1 0M R=R oooi、o o o o,(2)R1=,R=,(3)r(R)=,s(R)=,又R4=,故(R)=R uR2 2 a u R”=,13.设 P,是正整数集关于整除关系作成的偏序集，P的子集T=1,2,3,4,5,6,求T的极小元、极大元、上界、下界、最小上界、最大下界。解：（略）四.图论14.（1）画一个图，使它既有欧拉回路，又有哈密顿回路；（2）画一个回路图,使它既无欧拉回路，又无哈密顿回路。解：(2)15.（1）画一个图，使它有欧拉回路，无哈密顿回路；（2）画一个回路图，使它无欧拉回路，有哈密顿回路。解：（1）(2)16.证明小于30 条边的简单平面图至少有一个顶点的度数小于50证:（反证法）假设小于30 条边的简单平面图G中每一个顶点的度数大于等于5,从而此时顶点数I，与边数e 满足2e Z 5 n;另一方面，由于此时图G的每一个区域至 少 由 3 条边围成，从而由E u le r 公式推论知，此时顶点数v与边数e 满足f it也有bq-bq*bp 0另一方面由于pN l,故存在正整数k满足ZpN i,从 而 的=g*，进而有b k P=b k P*b P=b k P*b P*b P=.=b k P*b k P。令 4=Z/P,有0*4=4。#2 7 .求仁,（,）的所有子群及陪集，其中无6歹=犬+外解：其 子 群 为=,”2=6引,&=0,2,4，”4=Z 6。关于子群=。的陪集分别为 0 ,。,2 ,劣,可,5 ；关于子群”2 =6，引的陪集分别为 函,不 ,2,5 ；关于子群4=0,2,4）的 陪 集 分 别 为 1,3,5；关于子群明=Z 6的陪集就是其自身。#28 .求证有限群中周期大于2的元素个数必为偶数。证：因为根据群元素周期的定义知，每个元素与其逆元素的周期是一致的，而当该元素的周期大于2 时，其逆元素与本身不同，故有限群中周期大于2 的元素必是成对出现，从而其周期大于2 的元素个数必为偶数。#29.若a,Z?,c是格(A,)中的元素，求证：a V S A c)K (a V )A(Q V c)o证：Z?A C /?,/.t 2 V(Z7 A C)6 Z V；又Z?C 4 C,Q V S C)a V C ；进而有 a v S A c)(a v )A(a v c)。#30.若a,。,c是格(AW)中的元素,求证：(6 Z A /7)V(7 A C)7 A (Z7 V C)o证：b b /a /h a /(h v c);c Z?v c,6Z A c A(Z?v c);进而有(6 f A /?)V(2 A c)6 7 A (Z?V c)o#31.分配格与模格的刻画与关系。第1章 命 题 逻 辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，（主）析取（合取）范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1.命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2.六个联结词及真值表h“0”否定联结词，户是命题，。尸是尸的否命题，是由联结词0和 命 题P组成的复合命题.尸取真值1,0 P 取真值0,尸取真值0,。尸取真值1.它是一元联结词.h 合取联结词，内0 是命题R。的合取式，是“。”和 R 0 组成的复合 命 题.“U”在语句中相当于“不但而且”，“既又”.用 0 取值1,当且仅当R 0 均取1；内0 取值为0,只有R 0 之一取0.h “U”析取联结词，“、U”不可兼析取（异或）联结词，用0 是命题R 0 的析取式，是“U”和 R。组成的复合命题.户口。是联结词“U”和 R 0 组成的复合命题.联结词“俨 或“、U”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或.即“户U 0”“（0 用 U（用0。）”.P U Q 取值 1,只要P,Q 之一取值1,P U Q 取值0,只有P,Q都取值0.h ”蕴含联结词，m0 是 ”和 R 0 组成的复合命题，只有取值为1,0 取值为。时，网0 取值为0；其余各种情况，均有国0 的真值为1,亦即l 0的真值为0,0 l,1 1,0 0 的真值均为1.在语句中，“如果P则 Q”或“只有 Q,才 P,”表示为“P Q”.h “”等价联结词，PQ是P,0 的等价式，是“”和 R 0 组成的复合命题.“”在语句中相当于“当且仅当”，外。取值1 当且仅当P,0 真值相同.3.命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h 命题公式与赋值，命题P 含有个命题变项片，给凡 巴,&各指定一个真值，称为对尸的一个赋值（真值指派）.若指定的一组值使尸的真值为1,则这组值为的真指派；若使尸的真值为0,则称这组值称为尸的假指派.h 命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式4称为重言式（永真式）；在各种赋值下均为假的命题公式4称为矛盾式（永假式）；命题/不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1,则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0,则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1,又非全0,则该公式是可满足式.其二是推导演算法.利用基本等值式（教材P.16的十六个等值式或演算律），对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1,则该公式是永真式；若该公式的真值为0,则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取（合取）范式法，该公式的主析取范式有2个极小项（即无极大项），则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项（即无极小项），则该公式是永假式；该公式的主析取（或合取）范式的极小项（或极大项）个数大于0小 于2 1,则该公式是可满足式.h等值式A U B,命题公式A,B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A,B等值。定 理1设K A）是含命题公式A的命题，尸（而是用命题公式置换网中的力之后得到的命题公式.如果疝旦 则/。夕（面.4.范式h析取（合取）范式，仅有有限个简单合取式（析取式）构成的析取式（合取式），就是析取（合取）范式.h极小项（极大项），个命题变项凡局，,8,每个变项或它的否定两者只有其一出现且仅出现一次，第/个命题变项或者其否定出现在从左起第了个位置上（无脚标时，按字典序排列），这样的简单合取式（析取式）为极小项（极大项）.以 两 个 命 题 变 项 为 例，出=0用0。，如=0内。,ml o=P U 0Q,mn=P U Q是极小项;%=内0,MO1=AJ0 M1O=0P U Q,MU=0PU0Q 是极大项.h主析取范式（主合取范式）含 有 个命题变项的命题公式，如果与一个仅有极小项（极大项）的析取（合取）构成的析取（合取）范式等值，则该等值式称为原命题公式的主析取（合取）范式。每项含有n个命题变项（变项字母齐全）的合取式（析取式）的析取（合取）为主析取（合取）范式.任意命题公式都存在与之等值的范式，存在与之等值的主范式，且是惟一的.求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式.关键有两点：其一是准确掌握范式定义；其二是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和摩根律，结果的前一步适当使用塞等律.求析取（合取）范式的步骤:将公式中的联结词都化成0,u,U（即消去个数中的联结词,U）；将 否 定 联 结 词 0 消去或移到各命题变项之前;利用分配律、结合律等，将公式化为析取（合取）范式.求命题公式A的主析取（合取）范式的步骤 求公式力的析取（合取）范式；“消去”析取（合取）范式中所有永假式（永真式）的析取项（合取项），如用。尸（用。用 0（1）替代.用塞等律将析取（合取）范式中重复出现的合取项（析取项）或相同的变项合并，如内尸（内户）用夕替代，加I氏（MUM）用例（M）替代.若析取（合取）范式的某个合取项（析取项）不含有命题变项n 或 0