资源描述
2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知，且α是锐角，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不确定
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．已知Rt△ABC，∠ACB=90º，BC=10，AC=20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B’CD，B’D交AC于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
5．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
6．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．
7．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．在中，∠C=90°，∠A=2∠B，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．a<1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1
11．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
12．若抛物线与坐标轴有一个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．
14．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线；乙说：与轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是______.
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 ．
16．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．
17．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位后顶点坐标为_______．
18．已知，关于原点对称，则__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
20．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
21．（8分）定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点. 例如，在函数中，当时，无论取何值，函数值，所以这个函数的图象过定点.
求解体验
（1）①关于的一次函数的图象过定点_________.
②关于的二次函数的图象过定点_________和_________.
知识应用
（2）若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点且，试求直线所过的定点.
拓展应用
（3）若直线与拋物线交于、两点，试在拋物线上找一定点，使，求点的坐标.
22．（10分）已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；
（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．
23．（10分）现有3个型号相同的杯子，其中A等品2个，B等品1个，从中任意取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子，
（1）用恰当的方法列举出两次取出杯子所有可能的结果；
（2）求两次取出至少有一次是B等品杯子的概率．
24．（10分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
25．（12分）一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数图像经过点A、B，与x轴相交于另一点C．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中画出该二次函数的图像；
（3）求∠ABC的度数．
26．如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两个点，且．求证：．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据sin60°＝解答即可．
【详解】解：∵α为锐角，sinα＝，sin60°＝，
∴α＝60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2、C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.
3、A
【分析】如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，由勾股定理可求AB的长，由锐角三角函数可求BH，CH，DH的长，由折叠的性质可得∠BDC=∠B'DC，S△BCD=S△DCB'=50，利用锐角三角函数可求EF=，由面积关系可求解．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，
∵∠ACB=90°，BC=10，AC=20，
∴AB=，S△ABC=×10×20=100，
∵点D为斜边中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=，
∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，
∴sin∠BCD=sin∠DBC=，
∴，
∴BH=，
∴CH=，
∴DH=，
∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD，
∴∠BDC=∠B'DC，S△BCD=S△DCB'=50，
∴tan∠BDC=tan∠B'DC=，
∴，
∴设DF=3x，EF=4x，
∵tan∠DCA=tan∠DAC=，
∴，
∴FC=8x，
∵DF+CF=CD，
∴3x+8x=，
∴x=，
∴EF=，
∴S△DEC=×DC×EF=，
∴S△CEB'=50-=，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，锐角三角函数的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
4、D
【分析】要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可.
【详解】过点、作轴，轴，分别于、，
设点的坐标是，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
因为点在反比例函数的图象上，则，
点在反比例函数的图象上，点的坐标是，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.
5、A
【分析】试题分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.
∴（米）.故选A.
【详解】请在此输入详解！
6、B
【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．
【详解】如图，连接CN．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2 ，BC＝AC＝3，
∵CM＝MB＝BC＝，
∵A1N＝NB1，
∴CN＝A1B1＝，
∵MN≥CN−CM，
∴MN≥，即MN≥，
∴MN的最小值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7、C
【解析】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边．
8、C
【分析】如图，延长FH交AB于点M，由BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，证明EG//BC，FH//AD，进而证明△AEG∽△ABC，△CFH∽△CAD，进而证明四边形EHFG为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EGFH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.
9、C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的值，运用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B，∠C=90°，
∴2∠B+∠
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