2022年广东省梅州市永兴中学高一数学理下学期期末试题含解析

2022年广东省梅州市永兴中学高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在四边形ABCD内找一点O, 使＝0, 则点O为 （　　） A. 四边形对角线的交点 B. 一组对边中垂线的交点 C. 一组对边中点连线的中点 D. 一组对角角平分线的交点 参考答案： C 略 2. 方程有两个不等实根，则k的取值范围是 A．       B．      C．   D． 参考答案： D 3. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1 的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（       ） A.       B.      C.       D.   参考答案： D 略 4. 已知与是非零向量且满足（﹣6）⊥，（2﹣3）⊥，则与的夹角是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行数量积的运算，并整理即可得到，，这样两式联立即可求出的值，从而得出与的夹角． 【解答】解：根据条件：，； ∵； ∴，； ∴； ∴； ∴； ∴的夹角为． 故选：B． 5. 直线a、b和平面α，下面推论错误的是（　　） A．若a⊥α，b?α，则a⊥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α D．若a∥α，b?α，则a∥b 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A，由线面垂直的性质定理可判断； B，由线面垂直的判定定理可判断； C，由线面、线线垂直的判定定理可判断； D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面 【解答】解：对于A，若a⊥α，b?α，则a⊥b，由线面垂直的性质定理可判断A正确； 对于B，若a⊥α，a∥b，则b⊥α，由线面垂直的判定定理可判断B正确； 对于C，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α，由线面、线线垂直的判定定理可判断C正确 对于D，若a∥α，b?α，则a∥b或异面，故D错； 故选：D． 6. 已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则 A．         B．      C．  D． 参考答案： A 7. 若不等式（，且）在上恒成立，则的取值范围是（  ） A．(1,2)         B．(2,+∞)       C. (0,1)∪(2,+∞)         D． 参考答案： B 当时， ，即为 在上恒成立， 整理得： ，由，得，所以； 当时，，即为 在上恒成立， 整理得：，由，得，, 所以，无解. 综上.   8. 设集合，，且，则（   ）. A．    B．  C．  D． 参考答案： B 9. 在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为(     ) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： B 【考点】解三角形． 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形． 【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=， ∴=， ∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形． 故选B 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用． 10. 已知函数,，且，则的取值范围是   (　　) A．(2，＋∞)  B．(3，＋∞)   C．[3，＋∞) D． [2，＋∞) 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数的图象过点       . 参考答案： 3 设 ，由于图象过点 , 得 ， ， ，故答案为3.   12. 已知sinα+cosα=，且0＜α＜，则sinα﹣cosα的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用完全平方公式，先求出2sinαcosα，即可得到结论． 【解答】解：由sinα+cosα=， 平方得1+2sinαcosα=， 则2sinαcosα=， ∵0＜α＜， ∴sinα﹣＜cosα，即sinα﹣cosα＜0， 则sinα﹣cosα=﹣==﹣， 故答案为：﹣； 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 13. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有           个. 参考答案： 6 14. 设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是__________． 参考答案： {x|-3＜x＜1或x＞3} 15. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是      . 参考答案： 2 16. 设实数，定义运算“”：设函数.则关于的方程的解集为          . 参考答案： 17. 已知x∈（0，+∞），观察下列各式： x+≥2， x+≥3， x+≥4， … 类比得：x+，则a=　　． 参考答案： nn 【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理． 【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论． 【解答】解：当n=1时，a=1， 当n=2时，a=2=22， 当n=3时，a=27=33， … ∴当分母指数取n时，a=nn． 故答案为nn． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且﹣2csinA=0． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值． 参考答案： (Ⅰ)解：由，及正弦定理得 ………2分                         ……………4分 △是锐角三角形               ……………6分 (Ⅱ) ,，          ……………8分 由余弦定理得   ……………10分 解得或（舍）的值为5.       ……………12分 19. 已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2﹣3． （1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）在R上的解析式； （3）解方程f（x）=2x． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，根据函数的奇偶性，结合当x＞0时，f（x）=x2﹣3，可求出x＜0时函数的表达式； （2）f（0）=0，可得函数f（x）在R上的解析式； （3）分类讨论解方程f（x）=2x． 【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0， ∵当x＞0时，f（x）=x2﹣3， ∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣3=x2﹣3， ∵f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x） 即f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+3（x＜0）； （2）f（0）=0， ∴f（x）=； （3）x＞0，x2﹣3=2x，可得x=1， x=0，满足题意； x＜0，﹣x2+3=2x，可得x=﹣3， ∴方程f（x）=2x的解为1，0或﹣3． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根，考查函数解析式的确定，属于中档题． 20. 已知． （I）若函数有三个零点，求实数a的值； （II）若对任意，均有恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： （I）或；（II）． 【详解】（I）由题意等价于有三个不同的解 由，可得其函数图象如图所示： 联立方程：， 由可得 结合图象可知 ． 同理，由可得， 因为，结合图象可知， 综上可得：或． （Ⅱ）设，原不就价于， 两边同乘得：， 设， 原题等价于的最大值． （1）当时，，易得， （2），，易得， 所以的最大值为16，即，故． 21. 已知函数． （1）当时，若，求函数f（x）的值； （2）当时，求函数的值域； （3）把函数y=f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出最小的向量的坐标． 参考答案： 考点： 三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： （1）利用同角三角函数的基本关系 由sinx求出cosx，从而求得f（x）的值． （2）根据x的范围，求得角x﹣的范围，可得sin（x﹣）的范围，利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式， 利用二次函数的性质求的h（x）的值域． （3）根据向量平移得到g（x）的解析式 ，要使g（x）是偶函数，即要， 求得a的解析式，通过|的解析式可得当k=﹣1时，最小． 解答： （1）∵，∴， ==． （2）∵，∴，， =． （3）设，所以， 要使g（x）是偶函数，即要，即，， 当k=﹣1时，最小，此时，b=0，即向量的坐标为． 点评： 本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，判断g（x）是偶函数 的条件， 是解题的难点． 22. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=1，AA1=AD=2．点E为AB中点． （1）求三棱锥A1﹣ADE的体积； （2）求证：A1D⊥平面ABC1D1； （3）求证：BD1∥平面A1DE． 参考答案： 【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）根据AA1⊥底面ABCD，AA1=2，可知三棱锥A1﹣ADE的高，然后求出三角形ADE的面积，最后利用锥体的体积公式求出三棱锥A1﹣ADE的体积即可； （2）欲证A1D⊥平面ABC1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1D与平面ABC1D1内两相交直线垂直，而根据条件可知AB⊥A1D，AD1⊥A1D，又AD1∩AB=A，满足定理所需条件； （3）欲证BD1∥平面A1DE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BD1与平面A1DE内一直线平行即可，根据中位线可知OE∥BD1，又OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE，满足定理所需条件． 【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 因为AB=1，E为AB的中点，所以，， 又因为AD=2，所以，（2分） 又AA1⊥底面ABCD，AA1=2， 所以，三棱锥A1﹣ADE的体积．（4分） （2）因为AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1， 所以AB⊥A1D．（6分） 因为ADD1A1为长方形，所以AD1⊥A1D，（7分） 又AD1∩AB=A，所以A1D⊥平面ABC1D1．（9分） （3）设AD1，A1D的交点为O，连接OE， 因为ADD1A1为正方形，所以O是AD1的中点，（10分） 在△AD1B中，OE为中位线，所以OE∥BD1，（11分） 又OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE，（13分） 所以BD1∥平面A1DE．（14分） 【点评】本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理以及体积的求法．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．