浙江省杭州市乔司职业中学高一数学理期末试题含解析

浙江省杭州市乔司职业中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足 错误！未找到引用源。，则的取值范围是(    ) A.             B.             C.               D. 参考答案： C 2. 在△ABC中，已知＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于 A．30° B．60°或120°    C．60°     D．120° 参考答案： B 略 3. 函数的                                    （   ） A 最小正周期是         B 图像关于y轴对称 C 图像关于原点对称        D 图像关于x轴对称 参考答案： C 4. 设集合，集合，则A∩B=（   ）. A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {0,1,2,3,4} 参考答案： B 【分析】 由集合的交集运算得解 【详解】，由此，故选B。 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。 5. 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（   ） A．   B．  C．      D． 参考答案： D  解析： 由得或而                  即或 6. 定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=ax为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案． 【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x）， 可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确； ②、假设f（x）=ax是一个“λ一半随函数”，则ax+λ+λax=0对任意实数x成立， 则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ax是“λ一半随函数”，故②正确． ③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0）， 若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣（f（0））2＜0， 又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根， 因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确． ④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0， 即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误 正确判断：①②③． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ﹣同伴函数的定义，是解答本题的关键． 　 7. 下列给出的对象能构成集合的个数是（   ） ①高一（1）班中眼睛炯炯有神的同学；②2013年我国发射的神州十号宇宙飞船搭载的宇航员；③数学必修一中较难的习题. A．0            B．1        C．2            D．3 参考答案： B 8. 方程组的解集是 A．     B．  C．    D． 参考答案： Ｃ 9. 的值为          A. 4                        B.2                        C.1                        D. 参考答案： B 10. cos210°=（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】由诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解． 【解答】解：cos210°=cos=﹣cos30°=﹣． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.  已知函数f(x)＝则f(4)＝________. 参考答案： 0 12. 在等比数列{an}中，，则          ． 参考答案： 由等比数列的性质得， ∴， ∴.   13. 若则____________________． 参考答案： 8 因为所以。 14. 已知， ,则=                 . 参考答案： 15. 若，且，则tanα的值是　　． 参考答案： 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系． 【分析】由诱导公式得α角的正弦，由平方关系与α角的范围得α角的余弦，由商的关系得tanα的值． 【解答】解：∵sin（π﹣α）=sinα，∴sinα=﹣， ∵α∈（﹣，0），∴cosα==， ∴tanα==﹣． 故答案为：﹣． 16. 如果函数y=logax在区间[2，+∞）上恒有y＞1，那么实数a的取值范围是        ． 参考答案： （1，2） 【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】分类讨论；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数y=logax在区间[2，+∞﹚上恒有y＞1，等价为：ymin＞1，须分两类讨论求解． 【解答】解：根据题意，当x∈[2，+∞），都有y＞1成立，故ymin＞1， ①当a＞1时，函数y=logax在定义域（0，+∞）上单调递增， 所以，在区间[2，+∞）上，当x=2时，函数取得最小值ymin=f（2）=loga2＞1， 解得a∈（1，2）； ②当0＜a＜1时，函数y=logax在定义域（0，+∞）上单调递减， 所以，在区间[2，+∞）上，函数不存在最小值，即无解， 综合以上讨论得，a∈（1，2）， 故答案为：（1，2）． 【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和最值，体现了分类讨论的解题思想，属于基础题． 17. 若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第__________象限角． 参考答案： 三 考点：象限角、轴线角． 专题：计算题． 分析：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角． 解答： 解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角； 由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角． 由于 sinα＜0 且tanα＞0，故α是第三象限角， 故答案为：三． 点评：本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在数列中，已知， （1）若。求证：是等比数列，并写出的通项公式 （2）求的通项公式及前项和 参考答案： （1）， 所以是以1为首项，-1为公比的等比数列。 （2） 当为偶数时，        当为奇数时， 19. （14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立．（1）函数是否属于集合？说明理由； （2）若函数属于集合，试求实数和满足的约束条件； （3）设函数属于集合，求实数的取值范围． 参考答案： （1）． （2），． （3）． （1），若，则存在非零实数，使得 ，即， 因为此方程无实数解，所以函数． （2），由，存在实数，使得 ，  解得， 所以，实数和的取得范围是，． （3）由题意，，．由得 存在实数， ， 即，又＞， 化简得， 当时，，符合题意．……（10分） 当且时，由△得，化简得 ，解得． 综上，实数的取值范围是． 20. 如图，在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,D是AC中点，平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=2,M、 N分别是AB, SB的中点. (1) 求证:AC⊥SB.   (2) 求三棱锥C-MNB的体积. 参考答案： (1) 因为SA=SC, AB=BC, 所以AC⊥SD且AC⊥BD, 所以AC⊥平面SDB. 又SB?平面SDB,所以AC⊥SB. -----------6分 (2) 因为SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC, SD?平面SAC, 所以SD⊥平面ABC.又SD=2, N是SB的中点, 所以,N到平面ABC的距离为, 又S△MBC=×2×2=2. 所以---------- 12分 21. 已知函数，． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若方程仅有一个实根，求实数的取值集合． 参考答案： （Ⅰ）当时， (其中) 所以，的单调递增区间为，不存在单调递减区间．    ………………………………………5分 （Ⅱ）由，即．该方程可化为不等式组                                                        ………………………………………8分 1         若时，则，原问题即为：方程在上有根，解得； 2         若时，则，原问题即为：方程在上有根，解得． 综上可得或为所求．                                       ………………………………………12分 略 22. (本小题满分10分)已知为定义在上的奇函数，当时，  （1）证明函数在是增函数 （2）求在（-1,1）上的解析式 参考答案： 解：①任取，                     上是增函数 ②当时，    当时，  略