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吉林省长春市市第八十八中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列的前项和(是不为0的实数),那么 ( )
A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列,或者是等比数列
D. 既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
参考答案:
C
略
2. 函数y=cos(-2x)的单调递增区间是 ( )
A.[k+,kπ+] B.[k-,k+]
C.[2k+,2k+] D.[2k-,2kπ+](以上k∈Z)
参考答案:
B
略
3. (5分)已知集合A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()
A. {0} B. {0,1} C. {0,2} D. {0,1,2}
参考答案:
C
考点: 交集及其运算.
专题: 集合.
分析: 解出集合A,再由交的定义求出两集合的交集.
解答: ∵A={x|x2﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2},
∴A∩B={0,2}
故选C
点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.
4. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩,并根据这10000名
学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如右
图),则总成绩在[400,500)内共有( )
A. 5000 人 B. 4500人
C. 3250人 D. 2500人
参考答案:
B
5. 等差数列{an}的前n项和为Sn,若,且,则k=( )
A. 10 B. 7 C. 12 D. 3
参考答案:
C
【分析】
由等差数列的前项和公式解得,由,
得,由此能求出的值。
【详解】解:差数列的前n项和为,,
,解得,
解得,故选:C。
【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6. 在平行四边形ABCD中,++=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 向量的加法及其几何意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的加法运算法则进行运算即可.
解答: 解:画出图形,如图所示;
++=(+)+
=+
=+
=.
故选:D.
点评: 本题考查了平面向量的加减运算问题,解题时应画出图形,结合图形进行解答问题,是容易题.
7. 若集合则等于 ( )
参考答案:
A
8. 如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数,则在[0,π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
计算函数的表达式,对比图像得到答案.
【详解】根据题意知:
到直线的距离为:
对应图像为B
故答案选B
【点睛】本题考查了三角函数的应用,意在考查学生的应用能力.
9. 已知函数f(x)=ln(﹣3x)+1,则f(lg2)+f(lg)=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质;函数的值.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】判断函数y=ln(﹣3x)的奇偶性,然后求解函数值即可.
【解答】解:因为函数g(x)=ln(﹣3x)满足g(﹣x)=ln(+3x)=﹣ln(﹣3x)=﹣g(x),函数是奇函数,g(lg2)+g(﹣lg2)=0,
所以f(lg2)+f(lg)=f(lg2)+f(﹣lg2)=0+1+1=2.
故选:D.
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,函数值的求法,考查计算能力.
10. 关于不同直线与不同平面,有以下四个命题:①若且,则;②若且,则; ③若且,则;④若且,则.其中真命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在平行四边形ABCD中,E是BC中点,G为AC与DE的交点,若则用表示 .
参考答案:
12. 已知cosα+cosβ=,则cos(α﹣β)= .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数.
【分析】已知两等式两边分别平方,相加得到关系式,所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简,将得出的关系式代入计算即可求出值.
【解答】解:已知两等式平方得:(cosα+cosβ)2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,
(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=,
∴2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=,即cosαcosβ+sinαsinβ=,
则cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
故答案为:.
13. 已知在定义域上是减函数,且,则的取值范围是 ▲ .
参考答案:
14. 设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有 个.
参考答案:
4
略
15. 已知集合若A中至多有一个元素,则a的取值范围是
参考答案:
或
16. 与的等比中项等于 .
参考答案:
±1
略
17. 数列{an}、{bn}满足,且、是函数的两个零点,则 ▲ ,当时,n的最大值为 ▲ .
参考答案:
,5
由已知可得
又
的最大值为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M,N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围.
参考答案:
(I)设的方程为,
因为被直线分成面积相等的四部分,
所以圆心一定是两直线的交点,
易得交点为,所以.……………………………………………………2分
又截x轴所得线段的长为2,所以.
所以的方程为.…………………………………………………4分
(II)法一:如图,的圆心,半径,
过点N作的直径NK,连结.
当K与M不重合时,,
又点M是线段PN的中点;
当K与M重合时,上述结论仍成立.
因此,“点M是线段PN的中点”等价于“圆上存在一点K使得KP的长等于的直径”.
…………………………………………………………………………………………………6分
由图可知,即,即.……8分
显然,所以只需,即,解得.
所以实数的取值范围是.………………………………………………12分
法二:如图,的圆心,半径,连结,
过H作交PN于点K,并设.
由题意得,
所以,…………………………6分
又因为,所以,
将代入整理可得,………………………………………………8分
因为,所以,,解得.…………12分
19. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗,业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料,该材料有效使用年限为20年.已知房屋外表喷一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元,且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系:.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)请解释的实际意义,并求f(x)的表达式;
(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时,业主所付的总费用f(x)最少?并求此时与不建隔热层相比较,业主可节省多少钱?
参考答案:
(1)(2)90
【分析】
(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式;
(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x的值,与不使用隔热材料的总费用比较得出结论.
【详解】解:(1) 表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元,
设隔热层建造厚度为毫米,则
,
(2)
当,即时取等号
所以当隔热层厚度为时总费用最小万元,
如果不建隔热层,年业主将付能源费万元,
所以业主节省万元.
【点睛】本题考查了函数解析式的求解,函数最值的计算,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.
20. 已知二次函数的最小值为1,且.
(1)求的解析式.
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围.
(3)在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的取值范围.
参考答案:
见解析.
解:(1)由已知是二次函数,且得的对称轴为,
又的最小值为,
故设,
∵,
∴,解得,
∴.
(2)要使在区间上不单调,则,
∴,
即实数的取值范围是.
(3)若在区间上,的图象恒在的图象上方,
则在上恒成立,
即在上恒成立,
设,则在区间上单调递减,
∴在区间上的最小值为,
∴,
故实数的取值范围是.
21. (14分)已知三条直线2x﹣y﹣3=0,4x﹣3y﹣5=0和ax+y﹣3a+1=0相交于同一点P.
(1)求点P的坐标和a的值;
(2)求过点(﹣2,3)且与点P的距离为2的直线方程.
参考答案:
考点: 点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标.
专题: 直线与圆.
分析: (1)联立,解得点P(2,1).将P的坐标(2,1)代入直线ax+y﹣3a+1=0中,解得a即可.
(2)设所求直线为l,当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=﹣2;不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l的方程为y﹣3=k(x+2),利用点到直线的距离公式即可得出.
解答: 解:(1)联立,解得,
∴点P(2,1).
将P的坐标(2,1)代入直线ax+y﹣3a+1=0中,可得2a+1﹣3a+1=0,解得a=2.
(2)设所求直线为l,当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=﹣2,
此时点P与直线l的距离为4,不合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,
则l的方程为y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,
因此点P到直线l的距离d==2,
解方程可得k=2.
所以直线l的方程为2x﹣y+7=0.
点评: 本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、点斜式,考查了分类讨论思想方法,属于基础题.
22. 在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值,并判定的形状;
(Ⅱ)求的面积。
参考答案:
解:(1)在中,∵代入余弦定理得,,
∴∴
∴为等腰三角形。
(2)∵∴
∴
略
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