广东省汕尾市英豪学校2022年高一数学理测试题含解析

广东省汕尾市英豪学校2022年高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．[2，4] C．[0，4] D．（2，4] 参考答案： B 【考点】二次函数的性质． 【分析】由函数的解析式可得函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1，当x=0或x=4时，函数值等于5，结合题意求得m的范围． 【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，此时，函数取得最小值为1， 当x=0或x=4时，函数值等于5． 且f（x）=x2﹣4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m的取值范围是[2，4]， 故选：B． 2. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：对A，函数在上为增函数，符合要求； 对B，在上为减函数，不符合题意； 对C，为上的减函数，不符合题意； 对D，在上为减函数，不符合题意. 故选A. 考点：函数的单调性，容易题. 3. 若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（　　） A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞） 参考答案： A 【考点】复合函数的单调性． 【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减． 【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu， 配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示： 由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减， 又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减， 故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0， 则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0， 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2） 故选A． 4. 过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　) A.      B．－ C．±  D．－ 参考答案： B 5. 在函数y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是(    ) A.1                     B.2              C.3                    D.4 参考答案： B 6. 等于（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 略 7. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是 A.         B.           C.       D.     参考答案： D 略 8. 在下图中，二次函数与指数函数的图象可能为（　  ） 参考答案： C 9. 已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集是（　　） A．{x|﹣2＜x＜0或x＞2} B．{ x|x＜﹣2或0＜x＜2} C．{ x|x＜﹣2或x＞2} D．{ x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2} 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式． 【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0， 即f（2）=0， 由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得xf（x）＜0?或， 解得0＜x＜2或﹣2＜x＜0， ∴xf（x）＜0的解集为：（﹣2，0）∪（0，2）， 故选：D 10. 如图，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，再经直线OB反射后射到P点，则光线所经过的路程PM+MN+NP等于（　　） A． B．6 C． D． 参考答案： A 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】由题意由题意知y=﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（2，0），设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM．由P2A⊥OA而求得． 【解答】解：由题意知y=﹣x+4的点A（4，0），点B（0，4）则点P（2，0） 设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则∠PMA=∠BMN；∠PNO=∠BNM． 作出点P关于OB的对称点P1，作出点P关于AB的对称点P2，则： ∠P2MA=∠PMA=∠BMN，∠P1NO=∠PNO=∠BNM， ∴P1，N，M，P2共线， ∵∠P2AB=∠PAB=45°， 即P2A⊥OA； PM+MN+NP=P2M+MN+P1N=P1P2═2； ， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________． 参考答案： ①②④ 12. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是___________. 参考答案： 试题分析： 如图，，为它的三等分点，若要使剪得两段的长都不小于1m，则剪的位置应在之间的任意一点处，则该事件的概率为. 考点：几何概型中与长度有关的概率计算. 13. 设函数，则______，方程的解为__________． 参考答案： 1， 4或-2      14. 一个圆锥的母线长是20cm，母线与轴的夹角为，则圆锥的底面半径是      cm. 参考答案： 10 15. 已知cos2α=﹣，那么tan2α的值为　　． 参考答案： 【考点】GT：二倍角的余弦． 【分析】利用半角公式、正切函数二倍角公式、同角三角函数关系式求解即可得答案． 【解答】解：∵cos2α=﹣， ∴tan2α===． 故答案为：． 16. 已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为　　． 参考答案： [] 【考点】指数型复合函数的性质及应用． 【分析】由于x∈[﹣3，2]，可得≤≤8，令 t=，有y=t2﹣t+1=+，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令 t=， 则有y=t2﹣t+1=+， 故当t=时，y有最小值为，当t=8时，y有最大值为57， 故答案为[]． 17. 已知正方体外接球表面积是，则此正方体边长为                   .    参考答案： 4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣． （1）若f（x）=，求x的值； （2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）解方程即可； （2）将m分离出来，然后求等号另一边关于x的函数的最值，借助于单调性求该函数的最值． 【解答】解：（1）由． （2x﹣2）（2x+1）=0 ∵2x＞0?2x=2?x=1． （2）由 m（2t﹣2﹣t）≥﹣2t（22t﹣2﹣2t）， 又t∈[1，2]?2t﹣2﹣t＞0， m≥﹣2t（2t+2﹣t） 即m≥﹣22t﹣1． 只需m≥（﹣22t﹣1）max 令y=﹣22t﹣1，易知该函数在t∈[1，2]上是减函数，所以． 综上 m≥﹣5． 【点评】本题的第二问要仔细体会将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解得基本思路，要注意总结．同时要注意利用换元法在此类问题时，中间变量t的范围． 19. （本小题满分14分）已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,． （1）求公差的值； （2）若，求数列中的最大项和最小项的值； （3）若对任意的，都有成立，求的取值范围． 参考答案： 解：（1）∵，∴ 解得       …………3分 （2）∵，∴数列的通项公式为 ∴ ∵函数在和上分别是单调减函数，   …………6分 ∴当时， ∴数列中的最大项是，最小项是               …………8分 （3）由得 又函数在和上分别是单调减函数，  …10分 且时；时. ∵对任意的，都有，∴ ∴ ∴的取值范围是                  …………14分 略 20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）令g（x）=f（﹣x﹣），求g（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可． （2）先利用诱导公式得出y=﹣2sin（2x+）．再利用正弦函数的单调性列出不等式解出． 【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，当x=时取得最大值2， 所以 2=2sin（2x+φ），所以φ=， 函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+） （2）g（x）=f（﹣x﹣）=2sin（﹣2x﹣）=﹣2sin（2x+）， 令+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z， 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z ∴函数的单调增区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z． 21. 已知数列{an}的前n项和为Tn=n2﹣n，且an+2+3log4bn=0（n∈N*） （I）求{bn}的通项公式； （II）数列{cn}满足cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn； （III）若cn≤m2+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】数列与不等式的综合；数列的求和． 【分析】（I）由Tn=n2﹣n，先求数列{an}的通项公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式； （II）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an?bn中，确定出cn的通项公式，从而求数列{cn}的前n项和Sn； （III）表示出cn+1﹣cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围． 【解答】解：（I）由Tn=n2﹣n，易得an=3n﹣2代入到an+2+3log4bn=