2022-2023学年安徽省芜湖市张镇中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年安徽省芜湖市张镇中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是 A.     B.       C.      D. 参考答案： B 2. 已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则下列说法正确的为（　　） 　 A． 函数f（x）的最小正周期为2π 　 B． f（x）的最大值为 　 C． f（x）的图象关于直线x=﹣对称 　 D． 将f（x）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象 参考答案： D 考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．  专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x+）+，分别求出其周期，最大值，对称轴即可判断A，B，C，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的性质即可判断D选项． 解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）cosx =sin2x+cos2x+ =sin（2x+）+ ∴函数f（x）的最小正周期T=，A错误； f（x）的最大值为：，B错误； 由2x+=kπ，解得f（x）的图象的对称轴为：x=，k∈Z，故C错误； 将f（x）的图象向右平移，得到g（x）=sin2x+图象，再向下平移个单位长度后会得到h（x）=sin2x的图象，而h（x）是奇函数．故正确． 故选：D． 点评： 本题主要考查了二倍角的余弦公式，两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查． 3. 设函数，则如图所示的函数图象（    ）   A．   B．   C．   D． 参考答案： C 略 4. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(     ) A.       B.       C.       D. 参考答案： D 5. 若空间三条直线满足，，则直线与          ………（  ）. 一定平行     一定相交     一定是异面直线    一定垂直 参考答案： D 6. 函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是（　　） A．是奇函数又是减函数 B．是奇函数但不是减函数 C．是减函数但不是奇函数 D．不是奇函数也不是减函数 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】首先由奇函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可判函数f（x）=|x|（|x﹣1|﹣|x+1|）是奇函数； 然后利用分类讨论的方法去绝对值符号，由于奇函数的图象关于原点对称，且对称两侧的单调性相同，所以只需讨论0≤x≤1与x＞1时即可；最后根据化简后的分段函数画出其图象，则f（x）的单调性一目了然． 【解答】解：因为函数f（x）=的定义域关于原点对称， 且f（﹣x）=|﹣x|（|﹣x﹣1|﹣|﹣x+1|）=|x|（|x+1|﹣|x﹣1|）=﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数． 又因为当0≤x≤1时，f（x）=x（﹣x+1﹣x﹣1）=﹣2x2； 当x＞1时，f（x）=x（x﹣1﹣x﹣1）=﹣2x， 所以f（x）的图象如图： 所以f（x）既是奇函数，又是减函数． 故选A． 【点评】本题考查函数的奇偶性定义及它的图象性质，同时考查数形结合的方法研究函数的单调性． 7. 在等比数列中，已知，，若分别为等差数列的第2项和第6项，则数列的前7项和为（     ） A． 49        B． 70      C.  98       D．140 参考答案： B 8. 已知集合若则实数的取值范围是（） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 9. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（      ） A．                   B．平面 C．三棱锥体积为定值    D．异面直线所成角为定值 参考答案： D 10. 已知数列{}为等差数列,若=3,=12,则=(　　) A、27 B、36 C、45 D、63 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 参考答案：   ∵， 设等比数列公比为 ∴ ∴ ∴   12. 设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是　[2，+∞）　． 参考答案： 考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知[0，+∞）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可． 解答： 解：因为f（x）=x2﹣4x+3， 所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3， 则f（x+a）的增区间为[2﹣a，+∞）， 又f（x+a）在[0，+∞）上是增函数， 所以2﹣a≤0，解得a≥2， 故答案为：[2，+∞）． 点评： 本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集． 13. 已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积     ． 参考答案： 考点：球的体积和表面积；球内接多面体． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：求出三棱锥P﹣ABC的高为=，利用三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，可得三棱锥P﹣ABC的内切球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积． 解答： 解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1， ∴底面外接圆的半径为， ∴三棱锥P﹣ABC的高为=， ∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1， ∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为， ∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=． 故答案为：． 点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的内切球的半径是关键． 14. 已知函数y＝f(x)是R上的偶数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 参考答案： 2－x＋1 15. 双曲线：的右焦点在直线：(原点为极点、轴正半轴为极轴)上，右顶点到直线的距离为，则双曲线的渐近线方程为                     ． 参考答案： 16. 函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点          。 参考答案： 17. 已知函数有零点，则实数的取值范围是                参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数， （Ⅰ）若，求函数的极值； （Ⅱ）设函数，求函数的单调区间； （Ⅲ）若在（）上存在一点,使得成立,求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）的定义域为，当时，，  ， ……2分 （0,1） 1 （1，+∞） - 0 +    减函数 极小 增函数   所以在处取得极小值1.                  ………………………4分 （Ⅱ），      ………………………6分 ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增；  ………………………7分 ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增.                             ………8分 （III）在上存在一点，使得成立，即 在上存在一点，使得，即 函数在上的最小值小于零.        …………………9分 由（Ⅱ）可知 ①即，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得， 因为，所以；                      ………………………10分 ②当，即时， 在上单调递增， 所以最小值为，由可得； ③当，即时， 可得最小值为， 因为，所以，,故    此时，不成立.                            综上讨论可得所求的范围是：或.          …………………12分 略 19. (本题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,且,. (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 设函数,求的值. 参考答案： (Ⅰ)；(Ⅱ). 20. 已知函数f（x）=ax﹣lnx． （1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标； （2）对?x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论； （2）通过转化可知a（x2﹣x）≥lnx对?x∈[1，+∞）恒成立，分别设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，通过举反例可知当0＜a＜1时不满足题意．进而转化为函数的最值问题，利用当x＞1时lnx＜x﹣1恒成立放缩即得结论． 【解答】解：（1）设切点为M（x0，f（x0）），直线的切线方程为y﹣f（x0）=k（x﹣x0）， ∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣， 即直线的切线方程为y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0）， 又切线过原点O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1， 由lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e． （2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立， ∴等价于a（x2﹣x）≥lnx对?x∈[1，+∞）恒成立． 设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且当a≤0时y1≤y2，故a＞0． 记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx， 则当0＜a＜1时，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立． 当x=1时，g（x）≥0恒成立； 当x＞1时，则a≥恒成立，等价于问题转化为求h（x）=当x＞1时的最大值． 又当x＞1时，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1）， 综上所述：a≥1． 　 21. 已知函数 （1）若曲线，在点处的切线与圆相切，求的取值范围； （2）若，讨论函数的单调性； （3）证明：  参考答案： （1）∵，∴f′（1）=1+2a+b， 其切线方程为y﹣（a+b）=（1+2a+b）（x﹣1），即（1+2a+b）x﹣y﹣1﹣a=0． 由切线与圆x2+y2=1相切可得 化为3a2+（2+4b）a+b2+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）2﹣12（b2+2b+1）≥0，解得或． ① ② ③， ④ ⑤， （3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减． ∴f（x）＜f（1），即lnx﹣x2+x＜0，令，可得． 22. 如图，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求三棱锥的体积. 参考答案： （Ⅰ）证明：如图5，取的中点连接 因为为边上的中点，所以，且， 因为，， 所以且所以四边形是平行四边形， 所以，又，， 所以平面．