2022年贵州省贵阳市中澳合作学校高一数学理联考试卷含解析

2022年贵州省贵阳市中澳合作学校高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）   A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 棱柱的结构特征． 专题： 空间角． 分析： 找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值． 解答： 连接BD，； ∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影， ∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角； 设AB=1，则BD=，BD1=， ∴cos∠DBD1===； 故选：D． 点评： 本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题． 2. 函数的单调递增区间是（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 3. 指数函数y=ax的图象经过点（2，16）则a的值是(     ) A． B． C．2 D．4 参考答案： D 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【专题】计算题． 【分析】设出指数函数，将已知点代入求出待定参数，求出指数函数的解析式即可． 【解答】解：设指数函数为y=ax（a＞0且a≠1） 将 （2，16）代入得 16=a2 解得a=4 所以y=4x 故选D． 【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式．若知函数模型求解析式时，常用此法． 4. 已知集合，若则实数的取值范围是，其中=         . 参考答案： 4 5. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（   ） A．27         B．36       C.45         D．66 参考答案： D 6. 函数的定义域是 (　)． A．[－1，＋∞)  B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1,0)∪(0，＋∞)  D．R 参考答案： C 略 7. 有关函数单调性的叙述中，正确的是（        ） A.y= 在定义域上为增函数          B.y=在[0,＋∞）上为增函数； C.y=的减区间为[―1，＋∞）     D.y=ax＋3在（―∞，＋∞）上必为增函数 参考答案： C 略 8. 集合，，则＝(　　) A．{－1,0,1}　    B．{0,1}       C．{1}           D．{0} 参考答案： B 9. 已知，则＝---------- --------（    ） A、－4             B、4              C、－3          D、3 参考答案： B 略 10. 已知互不相同的直线与平面，则下列叙述错误的是（   ） A．若，则       B．若，则     C．若，则     D．若，则或    参考答案： 若，则的位置关系可以平行，相交，异面. 答案为. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若集合，，，则的 非空子集的个数为            。 参考答案：     解析： ，，非空子集有； 12. 函数y=（）|x+1|的值域是　　． 参考答案： （0，1] 【考点】函数的值域． 【专题】转化法；函数的性质及应用． 【分析】由题意可知该函数为复合函数，先分解成基本函数，利用复合函数的性质求解． 【解答】解：由题意：函数y=（）|x+1|， 令|x+1|=u，则函数u的值域为． 故答案为：（0，1]． 【点评】本题考查了复合函数的值域的求法．先分解成基本函数求解．属于基础题． 13. 函数的定义域是                      ． 参考答案： 略 14. 已知函数，若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是  　▲ 　 ． 参考答案： 15. 有以下四个命题： ① 在中，“”是“”的充要条件； ② “”是“成等比数列”的必要非充分条件； ③ 在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项越来越接近于某个常数，那么称是数列的极限； ④函数的反函数叫做反余弦函数，记作。 其中正确命题的序号为__________________。 参考答案： 略 16. 集合的子集的个数为________． 参考答案： 考点：集合间的基本关系． 17. 点关于平面的对称点的坐标是           . 参考答案： (1,1,2 ) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据， 制成如图所示的茎叶图. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的 均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定； （2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率． 参考答案： （1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 ，方差分别为 、，          则，……………………………1分         ，………………………………2分 ， ………………………4分 ， …………………6分 由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；………………………………7分 （2）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个： ．…………………………9分 设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果： ．………………………………………11分 所以抽取两件样品重量之差不超过2克的概率为．………………………14分 19. (12分)已知函数= ()的图像经过点(3，)，其中a>0且a1。[来源: (1)求a的值； (2)求函数的值域。 参考答案： 略 20. 已知向量，，0＜β＜α＜π． （1）若，求的夹角θ的值； （2）设，若，求α，β的值． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算；9S：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（1）由向量的坐标减法运算求得，再由，两边平方后整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=0，即，从而得到与的夹角为90°； （2）由向量相等的条件可得，结合平方关系及角的范围即可求得α，β的值． 【解答】解：（1）由，， 得， 由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2， 得：cosαcosβ+sinαsinβ=0， ∴， ∴与的夹角为； （2）由， 得：，①2+②2得：， ∵0＜β＜α＜π， ∴0＜α﹣β＜π， ∴，， 代入②得：， ∵， ∴，得β=，． 综上所述，，． 21. 某公司要将一批不易存放的蔬菜从地运到地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下表：   运输工具 途中速度 （千米/小时） 途中单位费用（元/千米） 装卸时间 （小时） 装卸费用（元） 汽车 50 8 2 1000 火车 100 4 4 2000 若这批蔬菜在运输过程中（含装卸时间）损耗为300元/小时，设、两地距离为千米. （1）设采用汽车与火车运输的总费用分别为与，求与的解析式； （2）试根据、两地距离的大小比较采用哪种运输工具更合算（即运输总费用最小）.（注：总费用=途中费用+装卸费用+损耗费用） 参考答案： 解：（1）由题意可知，用汽车运输的总费用为： ；4分 用火车运输的总费用为： 8分 （2）由 得；由 得 由 得10分 答：当A、B两地距离小于时，采用汽车运输好；当A、B两地距离等于时，采用汽车或火车都一样；当A、B两地距离大于时，采用火车运输好. 12分 22. 已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0；②③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y） （1）求证：f（1）=0，； （2）求证：f（x）在定义域内为减函数； （3）求不等式f（2）+f（5﹣x）≥﹣2的解集． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=，即可证得f（）=﹣f（x）； （2）设任意0＜x1＜x2，则＞1，可证得f（x2）﹣f（x1）＜0； （3）根据②可求得f（2）=﹣1，从而可得f（5﹣x）≥f（2），再利用f（x）在定义域内为减函数，即可求得其解集． 【解答】证明（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0， 令x=x，y=，则f（1）=f（x）+f（）=0，即f（）=﹣f（x）， （2）∵x＞1时，f（x）＜0，设任意0＜x1＜x2，则＞1， f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（）=f（）＜0， ∴f（x2）＜f（x1）， ∴f（x）在定义域内为减函数； （3）∵f（）=1，f（）=﹣f（x）， ∴﹣f（2）=f（）=1得， ∴f（2）=﹣1，即有f（2）+f（2）=﹣2， ∴f（2）+f（5﹣x）≥﹣2可化为f（2）+f（5﹣x）≥f（2）+f（2）， 即f（5﹣x）≥f（2），又f（x）在定义域内为减函数， ∴0＜5﹣x≤2，解得3≤x＜5． ∴原不等式的解集为：{x|3≤x＜5}． 【点评】本题考查抽象函数及其用，难点在于（2）用单调性的定义证明f（x）在定义域内单调递减时的变化及（3）中对f（2）+f（5﹣x）≥﹣2的转化，突出考查化归思想，属于难题．