浙江省台州市坦头中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

浙江省台州市坦头中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若圆关于对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（    ）                                                                                                                                         A．6                            B．4                            C．3                            D．2 参考答案： B 2. 若a=  b=  , 则a,b的关系为（   ） A. a < b    B. a > b     C. a =b     D.  a+b =0  参考答案： A 3. 如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为（　　） A．（ +1）π B．（ +2）π C．（ +3）π D．（ +4）π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，即可得出该几何体的表面积． 【解答】解：由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体， ∴该几何体的表面积S=π×12+2π×1×1+×2=（3+）π． 故选：C． 【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(     ) A. B. C. D. 参考答案： B 略 5. 命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（　　） 　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： B 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．  专题： 简易逻辑． 分析： 求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2， 即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件， 故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件， 故选：B 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性判断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键． 6. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则      （　　） A． B．               C． D． 参考答案： 答案：C 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(    ) A.函数的最小正周期为 B.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 C.函数的图象关于直线对称 D.函数在区间上单调递增 参考答案： C 8. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为 A  6       B  7     C 8     D 23 参考答案： B 解析：由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线 的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。 9. 已知全集,集合，则   (    ) A．     B．      C．      D． 参考答案： A 10. 将函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，若g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立，则函数y=g（x）的单调递减区间是（　　） A．[kπ+，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】首先通过三角函数的恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用平移变换，最后根据正弦型函数的单调性求得结果． 【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位，得到 g（x）=2sin（2x+2φ﹣）． ∵g（x）≤|g（）|对x∈R恒成立， ∴g（）=±1，即2sin（2×+2φ﹣）=±1， ∴φ=kπ+，（k∈Z） ∵0＜φ＜， ∴φ=， ∴g（x）=2sin（2x+）． 令2x+∈[2kπ+，2kπ+π]，（k∈Z） 则x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z） 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，函数图象的平移变换问题，及函数单调区间问题，属于基础题型． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（α﹣β）=﹣，sinα=，则sinβ的值为　　． 参考答案： ﹣ 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】根据所给的角的范围和角的函数值，利用同角的三角函数之间的关系，写出角的函数值，进行角的变换，用α﹣（α﹣β）代替α，用两角差的正弦公式求出结果． 【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0， ∴0＜α﹣β＜π， ∵cos（α﹣β）=﹣，sinα=， ∴sin（α﹣β）=，cosα=， ∴sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=×（﹣）﹣×=﹣， 故答案为： 12. 已知实数a，b满足ab=1，且a＞b≥，则的最大值为　　． 参考答案： 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【分析】由题意，化简==，求出a﹣b的取值范围，从而求的最大值． 【解答】解：由题意， =， ∵ab=1，a＞b≥， ∴0＜a﹣b≤﹣=， ∴= =， ∵y=x+在（0，）上是减函数， ∴≤=． 故答案为：． 13. 若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”: （1）非负性:，当且仅当时取等号； （2）对称性:； （3）三角形不等式:对任意的实数z均成立. 今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是__________. 参考答案： ① 略 14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=　    　． 参考答案： 12 【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 15. 两个三口之家，拟乘两艘小游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法共有__________. 参考答案： 答案：48 16. 已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则       参考答案： 3 略 17. 某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：根据该表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为年的维修费用大约为             万元． 参考答案：   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1． （1）求该椭圆的离心率； （2）设，，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题． 【分析】（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求 （2）由（1）可得b=c．椭圆方程为，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）， ①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程，结合韦达定理可求，从而可求，同理可得，代入可求 【解答】解：（1）当AC垂直于x轴时，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a， 得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2 解得 e=．… （2）由e=，则，b=c． 焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），则椭圆方程为， 化简有x2+2y2=2b2． 设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）， ①若直线AC⊥x轴，x0=b，λ2=1， ∴λ1+λ2=6．   … ②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为 代入椭圆方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0． 由韦达定理得：，∴… 所以， 同理可得… 故λ1+λ2=．综上所述：λ1+λ2是定值6．… 【点评】本题主要考查了利用椭圆得性质及椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交中方程思想的应用，这是处理直线与椭圆位置关系的通法，但要注意基本运算的考查 19. 函数，为常数. (1)当时,求的最大值; (2)若函数在区间上为单调函数,求的取值范围。 参考答案： 解：（1）当时，，则的定义域为：……1分 .  ………………………………………3分 ; 在上是增函数,在上是减函数. ……………………………………5分 的最大值为.……………………………………………………………6分 (2). 若函数在区间上为单调函数, 则,或在区间上恒成立. 在区间上恒成立. 即在区间上恒成立. …………………………9分 设     在区间上为增函数. ………………………………11分 只需 . ………………………………………… 略 20. （12分） 在中，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 参考答案： 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力． 解析：（Ⅰ）在中，，由正弦定理， ． 所以． （Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是 ， ， ． ．   21. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. （II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率. 参考答案： （I）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1 （II）（1）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为，2所中学分别记为，1所大学记为，则抽取2所学校的所有可能结果为 ，，，，共15种.  （2）从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为，共3种，所以 略 22. （本小题满分14分）函数，数列和满足：，，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为． （1）求数列{}的通项公式； （2）若数列的项中仅最小,求的取值范围； （3）若函数，令函数数列满足:且其中