江西省景德镇市经公桥中学高二数学理月考试题含解析

江西省景德镇市经公桥中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式x2﹣4x+3＜0的解集为（　　） A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞） 参考答案： A 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】把不等式化为（x﹣1）（x﹣3）＜0，求出解集即可． 【解答】解：不等式x2﹣4x+3＜0可化为（x﹣1）（x﹣3）＜0， 解得1＜x＜3， ∴不等式的解集为（1，3）． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目． 2. 已知函数的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是(     ) A．在上是增函数 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：函数=2sin（ωx+） 的最小正周期为=π， ∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）． 由x∈，可得2x+∈[，]，故f（x）=2sin（2x+） 在上是减函数，故排除A． 令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象关于直线x=+对称，故排除B． 令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象关于（﹣，0）对称，故排除C． 所得函数图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+）+]=cos2x，它是偶函数， 故它的图象关于y轴对称， 故选：D． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 3. 直线与曲线相切于点，则b的值为（    ） A．-1         B．0       C.1         D．2 参考答案： A 由直线与曲线相切于点， 则点满足直线的方程，即，即 由，则，则，解得，故选A．   4. 观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第个图案中正六边形的个数是. 由，，，…，可推出（   ） A．271               B．272             C．273           D．274 参考答案： A 由图可知，， …   5. 用数学归纳法证明:时,由k到k+1左边需增添的项是(      ) A.  B.  C.  D.     参考答案： D 略 6. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】类比推理． 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可． 【解答】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为 ∴R= 故选C． 7. “﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断． 【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则， 所以，即﹣3＜m＜5且m≠1． 所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件． 故选B． 8. 已知△ABC的外接圆M经过点(0,1),( 0,3)，且圆心M在直线上.若△ABC的边长BC=2,则等于 A．         B．         C ．         D． 参考答案： A 9. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（　　） A．12 B．24 C．30 D．36 参考答案： C 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求． 【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆． 因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同， 分两类， 第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色， 若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法， 此时，故不同的涂法有6×4=24种． 第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色， 若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法． 综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种． 故选：C． 10. 若随机变量，且，则的值是(　　) A． B．       C． D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则＝______________。 参考答案： 12.     参考答案： 略 13. 记不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+1）与D没有公共点，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，）∪（4，+∞） 【考点】简单线性规划．  【专题】不等式的解法及应用． 【分析】画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可． 【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示： ∵y=a（x+1）过定点（﹣1，0）， ∴当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4， 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=． 又∵直线y=a（x+1）与平面区域D没有公共点． ∴a或a＞4． 故答案为：（﹣∞，）∪（4，+∞）． 【点评】在解决线性规划的问题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，然后将坐标逐一代入目标函数，最后验证求出最优解，该题是中档题． 14. 下列命题中： （1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________； 参考答案： 2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的   15. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________________ 参考答案： 略 16. 用分层抽样的方法从某学校的高中学生中抽取一个容量为的样本,其中高一年级抽人, 高三年级抽人.已知该校高二年级共有人,则该校高中学生总人数为_____  ___人. 参考答案： 900人 17. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是_____.                  参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量，． （I）若,求的值； （II）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围． 参考答案： 解：（I）         = ks5*u                  =                                   ∵  ∴∴=   （II）∵， 由正弦定理得            ∴ ∴-                      ∵∴，且 ∴∵∴     ∴                                 ∴                     ∴    ∴    略 19. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，， ，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙． （1）求证：； （2）求证：为线段中点； （3）求二面角的大小的正弦值．   参考答案： (I)证明：由已知D在平面ABC上的射影 O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC， ∴AO是AD在平面ABC上的射影．　　　 又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．　                   ………………4分   (II)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC　　　　 又∵BDì平面ADB，∴AD⊥BD，          在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD, ∴O是AB的中点.                                  ………………8分 (III)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE， ∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC ∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，    且 即二面角D－AC－B的正弦值为．               ………………12分 20. 求下列不等式的解集：（1）；（2）。 参考答案： 解：（1）方程的两解为， 根据函数图像可知原不等式的解为。 （2）方程的两解为， 根据函数图像可知原不等式的解为。 略 21. （12分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 参考答案： 解：依题意得 （Ⅰ）4人中男生和女生各选2人有　　　　　　4分　　　 （Ⅱ）男生中的甲和女生中的乙必须在内有　　　　8分 （Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生有　　　　12分 或 22. 已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程． 参考答案： 【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），先求出抛物线方程为y2=4x，从而得到a2+b2=1，由此能求出双曲线的方程． 【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px，p＞0， 将，y=代入得p=2，所求抛物线的方程为y2=4x，… 其准线方程为x=﹣1，即双曲线的半焦距c=1，∴a2+b2=1，①， 又，②， 由①②可得，b2=， 所求双曲线的方程为4x2﹣=1．… 【点评】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．