2022年上海建平世纪中学高一数学理模拟试卷含解析

2022年上海建平世纪中学高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数是（    ） A．②④         B．①③④       C.①②③         D．①③ 参考答案： C ∵函数①，它的最小正周期为 ②的最小正周期为 ③的最小正周期为 ， ④的最小正周期为. 故选C．   2. 函数的单调递减区间是(　D　) A.       B.        C.            D. 参考答案： D 3. 已知等差数列中，，那么=（   ） A．390          B．195               C．180           D．120 参考答案： B 4. 等比数列的前项，前项，前项的和分别为,则（     ） A．     B．    C．     D． 参考答案： A 略 5. 已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足的x取值范围是（  ） A．            B．          C．            D． 参考答案： A 6. 函数的定义域为           （    ） A.      B.       C.     D. 参考答案： B 7. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx|?|sinx|=|sin2x|， 其周期为T=，最大值为，最小值为0， 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 8. 若tanα＞0，则（　　） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 参考答案： C 【考点】GC：三角函数值的符号． 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】解：∵tanα＞0， ∴， 则sin2α=2sinαcosα＞0． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 9. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　　） A．CC1与B1E是异面直线 B．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1 C．AC⊥平面ABB1A1 D．A1C1∥平面AB1E 参考答案： B 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在A中，CC1与B1E在同一个侧面中； 在B中，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，故AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1； 在C中，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1； 在D中，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点． 【解答】解：由三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1， 底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，知： 在A中，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故CC1与B1E不是异面直线，故A错误； 在B中，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线， 又底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，故AE⊥B1C1，故B正确； 在C中，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故C错误； 在D中，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故D错误． 故选：B． 10. 函数的最小正周期是 A．       B．              C．          D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在直角三角形中，，，若，则           ． 参考答案： 12. （5分）已知函数f（x）=，则f（f（））= ． 参考答案： -2 考点： 三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用分段函数求出f（）的值，然后求解即可． 解答： 因为， 所以f（）==﹣1， 所以=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． 13. f（x﹣1）=x2﹣2x，则=　 　． 参考答案： 1 【考点】函数的值． 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可． 【解答】解：f（x﹣1）=x2﹣2x，则=f[（）﹣1]= 2﹣2=3+2=1． 故答案为：1． 14. 已知满足，，则       ． 参考答案：    15. 若关于x的方程有实数解，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： 略 16. 已知幂函数在上的最大值与最小值的和为，则      ． 参考答案： 2 17. 若A是△ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则△ABC的形状是_______ 参考答案： 钝角三角形     略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 . （1）证明函数是奇函数 (2)证明函数在上是增函数. (3) 若，求实数的取值范围. 参考答案：   即 所以函数在上是增函数  ……10分   （3）解： 是奇函 函数在上是增函数            ………… 14分   略 19. 函数f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值为g（a）（a∈R）． （1）当a=1时，求g（a）；  （2）求g（a）； （3）若，求a及此时f（x）的最大值． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）当a=1时，可求得f（x）=2﹣，从而知当cosx=时，ymin=﹣，于是可求得g（a）；  （2）通过二次函数的配方可知f（x）=2﹣﹣2a﹣1（﹣1≤cosx≤1），通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得g（a）； （3）由于g（a）=≠1，只需对a分a＞2与﹣2≤a≤2讨论，即可求得a及此时f（x）的最大值． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣2sin2x﹣2cosx﹣1 =﹣2（1﹣cos2x）﹣2cosx﹣1 =2cos2x﹣2cosx﹣3 =2﹣， ∵﹣1≤cosx≤1． ∴当cosx=时，ymin=﹣， 即当a=1时，g（a）=﹣；  （2）由f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x =1﹣2a﹣2acosx﹣2（1﹣cos2x） =2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1） =2﹣﹣2a﹣1，这里﹣1≤cosx≤1． ①若﹣1≤≤1，则当cosx=时，f（x）min=﹣﹣2a﹣1； ②若＞1，则当cosx=1时，f（x）min=1﹣4a； ③若＜﹣1，则当cosx=﹣1时，f（x）min=1． 因此g（a）=． （2）∵g（a）=． ∴①若a＞2，则有1﹣4a=，得a=，矛盾； ②若﹣2≤a≤2，则有﹣﹣2a﹣1=，即a2+4a+3=0， ∴a=﹣1或a=﹣3（舍）． ∴g（a）=时，a=﹣1． 此时f（x）=2（cosx+）2+， 当cosx=1时，f（x）取得最大值为5． 20. 定义域为R的奇函数f（x）=，其中h（x）是指数函数，且h（2）=4． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）的解集． 参考答案： 【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）根据h（2）=4求得指数函数h（x）的解析式，再根据f（0）=0，求得b的值，可得f（x）的解析式． （2）根据f（x）在R上单调递减，可得2x﹣1＜x+1，求得x的范围． 【解答】解：（1）由于h（x）是指数函数，可设h（x）=ax，a＞0，a≠1， ∵h（2）=a2=4，∴a=2，∴函数f（x）==． ∵函数f（x）=是定义域为R的奇函数，故有f（0）==0，∴b=1， ∴f（x）=． （2）∵f（x）==﹣1，在R上单调递减， 故由不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），可得2x﹣1＜x+1，求得x＜2， 即原不等式的解集为{x|x＜2}． 21. （本题分两个小题，每小题6分，共12分）计算下列各式. （1） （2） 参考答案： (1)原式   （2）原式 22. （本小题满分13分）已知不等式的解集为， （1）求的值； （2）（文科做）解关于的不等式： （2）（理科做）解关于的不等式： 参考答案： 解：（1）由不等式 的解集为知     （2）（文科做）由（1）知关于不等式可以化为 ， 即 故当－a>3，即a<－3时，不等式的解集为； 当－a<3，即a>－3时，不等式的解集为； 当－a=3，即a=－3时，不等式的解集为 （2）（理科做）解：原不等式化为， ① 当时，原不等式化为，解得； ② 当时，原不等式化为，且，解得； ③ 当时，原不等式化为，且，解得或； ④ 当时，原不等式化为，解得且； ⑤当时，原不等式化为，且，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 略