湖南省常德市向家桥中学高二数学理月考试卷含解析

湖南省常德市向家桥中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在矩形ABCD中，M在线段AB上，且，将沿DM翻折．在翻折过程中，记二面角的平面角为，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 做辅助线，构造并找到二面角所对应的平面角，根据已知可得，进而求得其最大值. 【详解】在平面图中过A作DM的垂线并延长，交于,交于.在翻折过程中A点在平面BCD上的投影的轨迹就是平面图中的AE.设翻折的角度为，在平面BCD投影为，过作于F，则即为二面角所对的平面角.然后有，.故=，求导得,设，当时， ，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以即时，有最大值，此时=,故选A. 2. 如果，那么（    ） A.            B.         C.       D. 参考答案： D 试题分析：  考点：集合间的关系 3. 命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是（　　） A．若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0 B．若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0 C．若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0 参考答案： D 4. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的模为 A． B． C．   D． 参考答案： A ，∴，∴， 则复数． 5. 双曲线的渐近线方程为（    ）   A.     B.     C.     D. 参考答案： A 6. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A、    B、    C、    D、 参考答案： C 7. 已知三条不同直线、、，两个不同平面、，有下列命题： ①、，∥，∥，则∥ ②、，，，则 ③，，，，则 ④∥，，则∥ 其中正确的命题是                                    （     ）                                                    A． ①③           B．②④            C．①②④             D．③ 参考答案： D 略 8. 已知变量， 满足约束条件 则目标函数（）的最大值为16，则的最小值为（   ） A.        B.       C.       D. 参考答案： A 9. 计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如用16进制表示D+E＝1B，则A×B=(  ) （A）  6E          (B) 7C         (C)5F           (D) B0 参考答案： A 略 10. 且,则乘积等于 A．      B．     C．      D． 参考答案： B  解析： 从到共计有个正整数，即 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有　　．（写出所有真命题的序号） 参考答案： ①③④ 【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域． 【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论． 【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；    （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；    （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）． 则f（x）+g（x）?B，故③是真命题；    （4）对于命题④，∵﹣≤≤， 当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题． 故答案为①③④． 12. 已知点，，则          ． 参考答案： 5 ∵点，， ∴ ， .   13. （5分）（理科）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为　  　． 参考答案： 由题意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010） 而f（2010）=f（2009）﹣f（2008）=f（2008）﹣f（2007）﹣f（2008）=﹣f（2007） ∴f（2013）=f（2007）=f（2001）=…=f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=0 故答案为：0 由题意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010），逐步代入可得f（2013）=f（2007），结合此规律可把所求的式子转化为f（0），即可求解 14. 已知f（x）=x2 —5x+6　　则不等式f（x）>0的解集为                  参考答案： 15. 设，在点集M上定义运算，对任意，        ，则. 已知M的直线上所 有的点的集合，= . 参考答案： 36 16. 在的展开式中， 的系数是__________． 参考答案： 180 17. 命题：x∈R，x＞0的否定是                  ． 参考答案：   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，且，求△ABC的面积S. 参考答案： 由已知得b2+c2=a2+bc…………………2′ ……………………………………4′ …………………………………6′ 由……………10′ ……………………………12′ 19. 在平面直角坐标系中，圆经过三点． （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于两点，且，求的值． 参考答案： .⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上， 所以可设圆的圆心为，     ------------------------2分 则有解得 则圆C的半径为 所以圆C的方程为    ------------6分 ⑵设，其坐标满足方程组： 消去，得到方程 由根与系数的关系可得， ----------8分 由于可得, 又所以 由①，②得，满足故    -----------------------12分 20. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中a的值； （II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低3吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由. 参考答案： （I）；（II）36 000；（III）2.9． 解（Ⅰ）由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得a=0.30．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （II）由（I），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12,．．．5分 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12=36 000．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （III）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，．．．．．．．．．．7分 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以2.5≤x<3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 解得x=2.9．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．．．．．．．12分 21. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的图象关于y轴对称，它的定义域是[a－1,2a](a，b∈R)，求f(x)的值域． 参考答案： 略 22. 已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B． （1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值； （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围； （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论． 参考答案： （1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ， ∴ ， ，∴   ． （ⅱ）由及圆的性质，可得，∴ ∴ ∴， ．                      （2）设，则,  整理得 ∴方程为：,方程为：． 从而直线AB的方程为：．                    令，得，令，得， ∴， ∴为定值，定值是.                     略