湖南省衡阳市耒阳南京中学2022-2023学年高一数学理模拟试卷含解析

湖南省衡阳市耒阳南京中学2022-2023学年高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若S =｛|=，∈Z｝，T =｛|=，∈Z｝，则S和T的正确关系是 A S = T         B   S∩T =       C  S  T            D T  S 参考答案： D 2. 若点P在角的终边上，且｜OP｜＝2，则点P的坐标是（      ） 　　A．       B．　　C．     D． 参考答案： D 略 3. 若角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），则sinα的值为（　　） A．﹣ B．﹣C． D．﹣ 参考答案： D 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），即x=﹣2cos60°=﹣1，y=﹣sin45°=﹣1，利用三角函数的定义求出sinα的值． 【解答】解：角α的终边经过点P（﹣2cos60°，﹣sin45°），即x=﹣2cos60°=﹣1，y=﹣sin45°=﹣1， ∴sinα=﹣， 故选D． 　 4. 已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（，1） C．（1，3] D．（1，5] 参考答案： D 【考点】指数函数的图象变换． 【分析】对a分类讨论：利用指数函数的单调性可得a＞1．由于函数g（x）=ax+1﹣5的图象不过第二象限，可得g（0）≤0，求解即可得答案． 【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）=ax﹣1＞0； 当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）=ax﹣1＜0，舍去． 故a＞1． ∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限， ∴g（0）=a1﹣5≤0， ∴a≤5， ∴a的取值范围是（1，5]． 故选：D． 　 5. 在△ABC中，，则A与B的大小关系为（   ） A．A＞B          B．A＜B         C．A=B         D．不确定 参考答案： A 分析：把正弦定理代入化简即得A和B的关系. 详解：由正弦定理得, ∴a>b, 所以A>B. 故选A.   6. （5分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（） A． 4π B． 6π C． 8π D． 10π 参考答案： B 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离；球． 分析： 三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积． 解答： 三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设PA=a，PB=b，PC=c， 则ab=，bc=，ca=， 解得，a=，b=1，c=． 则长方体的对角线的长为=． 所以球的直径是，半径长R=， 则球的表面积S=4πR2=6π 故选B． 点评： 本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键． 7. 函数t=tan（3x+）的图象的对称中心不可能是（　　） A．（﹣，0） B．（，0） C． D． 参考答案： C 【考点】正切函数的图象． 【分析】根据正切函数y=tanx图象的对称中心是（，0）求出函数y=tan（3x+）图象的对称中心，从而得出A、B、D选项是函数图象的对称中心． 【解答】解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是（，0），k∈Z； 令3x+=，解得x=﹣，k∈Z； 所以函数y=tan（3x+）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z； 令k=0、1、﹣1时，得﹣=﹣、、﹣； 所以A、B、D选项是函数图象的对称中心． 故选：C． 8. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．f（x）=x2和f（x）=（x+1）2 B．f（x）=和f（x）= C．f（x）=logax2和f（x）=2logax D．f（x）=x﹣1和f（x）= 参考答案： B 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可． 【解答】解：对于A，f（x）=x2和f（x）=（x+1）2的对应关系不同，不是同一函数； 对于B，f（x）==1（x＞0）和f（x）==1（x＞0），定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，f（x）=logax2=2loga|x|（x≠0）和f（x）=2logax（x＞0），定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于D，f（x）=x﹣1（x∈R）和f（x）==|x﹣1|（x∈R），对应关系不同，不是同一函数； 故选：B． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题． 9. 为比较甲、乙两地时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月l4时的平均气温： ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为（    ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 参考答案： B 由题中茎叶图知，， ；， . 所以<，>． 10. 下列函数在区间上为增函数的是（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等差数列中，已知，那么等于__ 参考答案： 4  略 12. 设，且，则的最小值为       。 参考答案： 9 13. 若偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_____________； 参考答案： 略 14. 已知函数f（x）=，则f[f（）]=　　． 参考答案： 【考点】函数的值． 【分析】根据函数表达式进行求解即可． 【解答】解：由函数表达式得f（）=log4=log44﹣2=﹣2， f（﹣2）=3﹣2=， 故f[f（）]=f（﹣2）=， 故答案为： 15. 的值为            ． 参考答案： 略 16. 已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出椭圆的标准方程，求出椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标时M的纵坐标，利用纵坐标等于短半轴长的，建立方程，即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的标准方程为（a＞b＞0） 当x=c时，y=± ∵椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的， ∴ ∴ ∴=a ∴e== 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 17. （5分）已知52x=25，则5﹣x=        ． 参考答案： 考点： 有理数指数幂的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 根据指数幂的运算性质进行计算即可． 解答： ∵52x=25=52， ∴2x=2，x=1， ∴5﹣x=5﹣1=， 故答案为：． 点评： 本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，. （Ⅰ）求和； （Ⅱ）定义且，求和.   参考答案： 解：（Ⅰ）        ………………………………………4分 ；          ……………………………… 6分 （Ⅱ） （写成扣1分）；  （写成扣1分）     ………………………………12分   略 19. （12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0． （1）求证：无论m为何值，直线L与圆C恒有两个公共点； （2）当m为何值时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是多少？ 参考答案： 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： （1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点； （2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长． 解答： （1）证明：将l的方程整理为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0， 由，解得x=3，y=1， 则无论m为何值，直线l过定点D（3，1）． （2）因为（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25， 则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交． 圆心C（1，2），半径为5，|CD|==， 当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于kCD==﹣， 则l的斜率为2，即有﹣=2，解得m=﹣． 此时最短弦长为2=4， 故当m=﹣时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是4． 点评： 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题． 20. 设，定义一种运算：。已知，，。 （1）证明：； （2）点在函数的图象上运动，点在函数的图象桑运动，且满足（其中为坐标原点），求函数的单调递减区间。 参考答案： 解：（Ⅰ），，依题意得，又， ∴， ∴． （Ⅱ ），， 由得， 即， 消去，得，即 令得 函数的单调递减区间是 略 21. 某简谐运动得到形如的关系式，其中：振幅为4，周期为6，初相为； （Ⅰ）写出这个函数的关系式； （Ⅱ）用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象． （Ⅲ）说明这个函数图像可由的图象经过怎样的变换得到．   参考答案： 解：（Ⅰ）这个函数的关系式为：；                   4分 （Ⅱ）（一）列表：                                                                       6分 （二）描点；（三）连线；图象如图：                                                                    10分 （Ⅲ）把函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），然后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）就可以得到得图象．                                 14分 略 22. 函数是定义在上的奇函数，且。 (1)确定函数的解析式；     (2)用定义证明：在上是增函数； 参考答案： 解：（1）由题意，得，即，解得。 所以，。 （2）证明（略）。 （3）解：原不等式可化为。 因为在上是增函数，所以，解得 故元不等式的解集为。 略