浙江省嘉兴市海盐实验中学2022年高三数学理模拟试题含解析

浙江省嘉兴市海盐实验中学2022年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若O是△ABC的重心，=﹣2，A=120°，则||的最小值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据已知条件容易得到，O是△ABC的重心，而重心是中线的交点，从而可得到（），从而可得到，由基本不等式即可得到，从而求得的最小值． 【解答】解：，A=120°； ∴； O是△ABC的重心； ∴； ∴； ∴； ∴的最小值为． 故选C． 【点评】考查数量积的计算公式及其运算，重心的定义，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式用于求最值，以及要求的范围先求范围的方法． 2. “”是“直线与直线互相垂直”的 (     ) A．充要条件；　　　　　　　　B．充分不必要条件； C．必要不充分条件；　　　　　D．既不充分也不必要条件. 参考答案： B 3. 设函数 ，则函数的各极小值之和为（　 ） A.    B. C.  D. 参考答案： D 略 4. 若A、B是椭圆上的两个动点, 右焦点是F2(其中A、B、F2不共线), 则△ABF2的周长的最大值是(    ) A．4                       B．8                            C．12                                D．20 参考答案： B 5. 1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有(   ) A．450       B．460        C．480      D．500   参考答案： C 略 6. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，则下列叙述正确的是(     ) A．若m∥n，m?α，则α∥β B．若α∥β，m?α，则m∥n C．若m∥n，m⊥α，则α⊥β D．若α∥β，m⊥n，则m⊥α 参考答案： C 考点：空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 解答： 解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，知： 若m∥n，m?α，则α与β相交或平行，故A错误； 若α∥β，m?α，则m与n平行或异面，故B错误； 若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确； 若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m?α，故D错误． 故选：C． 点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 7. 已知离心率为的双曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ）        A．             B．        C．           D． 参考答案： C 抛物线的焦点坐标为（4，0），      由已知得双曲线的右焦点为（4，0），半焦距，且，，，双曲线的离心率，因此故选择C。 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是（   ） A． B． C. D． 参考答案： D 试题分析：∵，∴将函数平移后得到的函数为，∵的图象关于轴对称，∴，即恒成立．∴，解得．∵，∴当时，取最小值．故选：D． 考点：三角函数中恒等变换的应用；函数的图象变换. 9. 函数的图象是 参考答案： 【知识点】对数函数的图像与性质．B7 B  解析：函数的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞）， 可判断答案选B. 【思路点拨】根据函数的定义域为作出判断即可． 10. 已知实数满足的最大值为（   ） A．—3        B．—2          C．1            D．2     参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设等差数列的前n项和为，且，．设数列前n项和为，且，求数列、的通项公式. 参考答案： 略 12. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。 参考答案： 1，1 13. 若函数，则          .   参考答案： 150 略 14. 正三棱锥内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为______。 参考答案：              略 15. 已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为         . 参考答案： 本题主要考查球的表面积与体积，考查了空间想象能力. 边长为的正的的外接圆的半径r=1，即由球的性质可知，球的半径R=，则球的表面积为 16. 给出下列四个命题： ① ②，使得成立； ③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一   点，取得的点到距离大小1的概率为； ④在中，若，则是锐角三角形， 其中正确命题的序号是 参考答案： ①②④. 略 17. 用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母 开始，相邻两个字母不能相同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为, 则,      ,        ． 参考答案：   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，其图象过点（，）． （1）的值； （2）函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值． 参考答案： 解：（1）由，得 ∴，于是 （2）由，得 又∵，∴ 由得： 所以   略 19. 如图， 为圆的直径，点， 在圆上， ，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知， ． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）当AD＝2时，求多面体FABCD体积．                      参考答案： （Ⅰ）∵平面平面， 平面平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵为圆的直径，∴，∴平面， ∵平面，∴平面平面 （Ⅱ） 20. 已知函数. （1）设，，求函数的极值； （2）若，且对任意恒成立，求k的最大值. 参考答案： （1）极小值为，无极大值；（2）－1 【分析】 （1）由题意可得，则在上递减，在上递增，据此可得函数的极值. （2）原问题等价于，构造函数，由导函数研究函数的性质可知存在唯一的使得，据此可得的最大值为. 【详解】（1），， ∵在上恒成立，∴当，，当，， ∴在上递减，在上递增，∴在取得极小值，极小值为，无极大值； （2）即：， 令，在上递增， ∵，， 故存在唯一的使得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∵，，∴最大值为-1. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的最值，导数处理恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21. (本题满分12分)已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程. 参考答案： (Ⅰ)设椭圆C的方程为,则 ,解得,,所以椭圆C的方程为.  ……4分 (Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意,  当斜率存在时设直线l的方程为y=k(x－2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0), 由得,  因为,  所以,  所以,,                 ……8分 因为线段AB的垂直平分线过点M(), 所以,即,所以, 解得,,  所以直线l的方程为 或  ………………12分 22. 如图，内接于,,直线切于点,弦,相交于点. (Ⅰ)求证:△≌△； (Ⅱ)若,求长. 参考答案： （1）证明：∵ 直线是圆的切线  ∴∠=∠ ∵∥     ∴∠=∠ 又∵∠与∠为弧所对的圆周角 ∴∠=∠   ∴∠=∠ 又∵∠与∠为弧所对的圆周角 ∴∠＝∠ 又∵＝∴△≌△ （2）解：∵直线是圆的切线  ∴∠＝∠ ∵∥ ∴∠＝∠ ∵∠与∠为弧所对的圆周角 ∴∠=∠ ∴∠=∠=∠          ∴＝＝4 又∵∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝∠＝∠ ∴＝＝4 设＝  易证△∽△ ∴＝＝  ∴＝ 又∵＝　　＝6－ ∴（6－）＝4   解得＝    ∴＝