§3.2 导数的应用
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).
考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程 的根；
③考察f′(x)在方程 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的各 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
概念方法微思考
1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？
2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(2)函数的极大值一定大于其极小值．( )
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )
题组二 教材改编
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．
4．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是______．
5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
题组三 易错自纠
6．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
7．(2018·铁岭质检)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
8．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.
9．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．
第1课时 导数与函数的单调性
题型一 不含参函数的单调性
1．函数y＝4x2＋的单调增区间为( )
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是( )
A．(－∞，e) B．(1，e)
C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调递减区间是________．
4．(2018·赤峰调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是______________________．
题型二 含参数的函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．
跟踪训练1 讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性．
解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例2 (1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0
(m－2 019)f(2)，则实数m的取值范围为( )
A．(0,2 019) B．(2 019，＋∞)
C．(2 021，＋∞) D．(2 019,2 021)
(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是__________________．
命题点2 根据函数单调性求参数
例3 (2018·辽阳质检)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
引申探究
1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．
2．本例(2)中，若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
跟踪训练2 (1)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin xf B．f>f(1)
C.ff(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
4．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为( )
A．f>f(1)>f
B．f(1)>f>f
C．f>f(1)>f
D．f>f>f(1)
5．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2018·呼和浩特质检)若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≤1 D．00时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．
11．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
12．已知函数f(x)＝－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性．
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)0)，讨论函数f(x)的单调性．
