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§10.3 二项式定理
最新考纲
考情考向分析
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)C＝1，C＝1.
C＝
(2)C＝
(3)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．
(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ .
概念方法微思考
1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？
2．二项展开式形式上有什么特点？
3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.( )
(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.( )
题组二 教材改编
2．[P31例2(1)](1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
3．[P31例2(2)]若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
4．[P41B组T5]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
题组三 易错自纠
5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．
(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．
命题点2 求参数
例2 (1)(2018·海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为( )
A．±2 B. C．－2 D．±
跟踪训练1 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
例3 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.
(2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
跟踪训练2 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
题型三 二项式定理的应用
例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017等于( )
A．i B．－I C．－1＋i D．－1－i
跟踪训练3 (1)(2018·泉州模拟)1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是( )
A．－1 B．1 C．－87 D．87
(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋＋…＋＝________.
1．(2018·贵港联考)在6的展开式中，常数项为( )
A．－240 B．－60 C．60 D．240
2．(2018·南宁联考)5的展开式中x3项的系数为( )
A．80 B．－80 C．－40 D．48
3．(2018·广州海珠区模拟)(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
4．(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )
A．21 B．35 C．45 D．28
5．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15 C．15 D．20
6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为( )
A．－4 B. C．4 D.
7．(2018·长郡中学质检)若二项式7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560 C．280 D．－280
8．(2018·益阳市、湘潭市调考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为( )
A．22 018－1 B．82 018－1
C．22 018 D．82 018
9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.(用数字作答)
10．若6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝________.
11．9192除以100的余数是________．
12．(2018·南阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝__________.(用数字作答)
13．(2018·珠海模拟)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )
A．45 B．60 C．120 D．210
14．(2018·衡水模拟)已知n(n∈N*)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p，q，则p＋64q的最小值为________．
15.5的展开式中常数项是________．
16．若n展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)展开式中所有x的有理项；
(2)展开式中系数最大的项．
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