第一章基础知识部份
&初等函数
一、函数的概念
一、函数的概念
函数是从量的角度对运动转变的抽象表述，是一种刻画运动转变中转变量相依关系 的数学模型。
设有两个变量X与y,若是关于变量X在实数集合D内的每一个值，变量y依照必 然的法那么都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记作y=f(X), 其中自变量x取值的集合D叫函数的概念域，函数值的集合叫做函数的值域。
二、函数的表示方式
(1) 解析法
即用解析式(或称数学式)表示函数。如y=2x+l,y=| x | , y=lg(x+l), y=sin3x等。 便于对函数进行精准地计算和深切分析。
(2) 列表法
即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方式。
便于差的某一处的函数值。
(3) 图像法
即用图像来表示函数关系的方式
超级形象直观，能从图像上看岀函数的某些特性。
分段函数 一即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如
2x + l, x>0
-2x-l, x 0
f(x)=<
xsin—,
隐函数一相关于显函数而言的•种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表 示的函数，如y=x?+2x+3,这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系 式是由一个含x,y的方程F(x, y) =0给出的，如2x+y-3=0, ex+> -x-y = O等。而由2x+y-3=0
可得y=3-2x,即该隐函数可化为显函数。
参数式函数一一假设变量x, y之间的函数关系是通过参数式方程
x =(pO, y =K|/0
人丁)给出
的，如此的函数称为由参数方程确信的函数，简称参数式方程，t称为参数。
反函数——若是在己给的函数y=f(x)中，把y看做自变量，x也是y的函数，那么所确信 的函数x=Hy)叫做y=f(x)的反函数，记作x=f (y)^y= f (x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
一、 单调性(单调増加、单调减少)
二、 奇偶性(偶:关于原点对称，f (-x)=f (x)；奇：关于y轴对称，f (-X)=-f(x).)
3、 周期性(T为不为零的常数，f (x+T) =f (x), T为周期)
4、 有界性(设存在常数M>0,对任意xWD,有fl (x) I WM,那么称f(x)在D上有界, 若是不存在如此的常数M,那么称f(x)在D上无界。
五、极大值、极小值
六、最大值、最小值
三、 初等函数
一、 大体初等函数
常数函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数共六天类函数统称为大体初等 函数。(图像、性质详见P10)
二、 复合函数一一若是y是U的函数y=f(u),而U又是X的函数u= (x),且J (x)的值 域与f(x)的概念域的交非空，那么y也是x的函数，称为由y=f(u)与u=J(x)复合而成的 复合函数,记作y=f(/(x))0
3、初等函数——由大体初等函数通过有限次四那么运算和有限次的函数复合组成的， 而且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。
四、 函数关系举例与经济函数关系式
一、 函数关系举例
二、 经济函数关系式
(1) 总本钱函数一总本钱=固定本钱+变更本钱
平均单位本钱二总本钱/产量
(2) 总收益函数一销售总收益=销售价钱X产量
(3) 总利润函数一总利润=销售总收益-总本钱
(4) 需求函数一一假设其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价钱)
&函数的极限
一、 数列的极限
关于无穷数列｛气｝,当项数n无穷增大时，若是气无穷接近于一个确信的常数A,那 1 im
么称A为数列｛aj的极限，记为〃 一8气=/，或当L8时，an—Ao
lim 1 lim
假设数列｛气｝存在极限，也称数列｛a「收敛’例如 一 =0, C = C (C
n -> oo/i n -> oo
为常数)，弁必=&|
假设数列｛引没有极限，那么称数列｛aj发散。
数列极限不存在的两种情形：
(1) 数列有界，但当n-8时，数列通项不与任何常数元穷接近，如：
(2) 数列无界，如数列｛护｝°
二、 当x-0时，函数f (x)的极限
若是当x的绝对值无穷增大(记作X-8)时，函数f(x)无穷地接近一个确信的常数
A,那称A为函数f(x)当x-8时的极限，记作I，m f(x)=A，或当X-8时，f(x) f X -> 00
单向极限概念 若是当XT+8或Gtto)时，函数f(x)无穷接近一个确信的长寿 湖A,那么称A为函数f(x)当XT+8或(r->_oo)时得极限，记作
Hm "）顼，im 八）“]
x +co n —> -
三、当X-Xo时，函数f (x)的极限
一、当X-Xo时，函数f(x)的极限概念
若是当x无穷接近Xo(记作X-Xo)时，函数f(x)无穷接近于一个确信的常数A,那么 称A为函数f(x)当X-Xo时的极限’记作hm f(x)=A,或当X-X。时，f(x) 一A。
/I ->00
二、当X-X。时，函数f(x)的左极限和右极限
若是当XfXcT(或XTA：。*)时，函数f(x)无穷接近一个确信的常数A,那么称函 lim ( \ lim / \ )
数f(x)当X-Xo时的左极限(右极限)为A,记作 八A
x->x- \x—>x+ 丿
0 0 7
四、无穷大与无穷小
一、 无穷大与无穷小的概念
若是当X-Xo时，f(x)-o,就称f(x)当X-X。时的无穷小，记作l，m /G)=0；若
x—>x
I)
是当X-Xo时，f(x)的绝对值无穷増大，就称函数f(x)当X-X。时为无穷大，记作 ，im f(r)=8。其中，若是当X-X。时，f(x)向正的方向无穷增大，就称函数f(x)当X x—>x
0
-X。时为正无穷大，记作l，m /G)=+CO:若是当X-Xo时，f(x)向负的方向无穷增大,
X—>x
I)
就称函数f(x)当X-Xo时为负无穷大，记作hm fG)=TO。
x-> X
0
二、 无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一转变中，若是f(x)为无穷大，那么二为无穷小；反之，若是f(x)
f(x)
为无穷小，那么
点为无穷大。
依照那个性质，无穷大的问题能够转化为无穷小的问题。
3、 无穷小的性质
性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小；
性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小；
性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、 无穷小的比较
设a与b是自变量同一转变中的两个无穷小，记作a=o(b)；
(1) 若是1 img=0,那么称a是比b低阶的无穷小；
b
(2) 若是1 im?=8,那么称a是比b高阶的无穷小；
(3) 若是lim§=c(c为非零的常数)，那么称a是比b同阶的无穷小。
b
专门的，当c=l,即lim；=l时，称a与b是等阶无穷小，记作a〜b。
&极限运算法那么
法那么一假设lim u=A, lim v=B.那么
lim(u±v)=lini u±lim v=A±B;
法那么二假设lim u=A, lim v=B,那么
lim(u • v)=lim u , lim v=A , B：
法那么三假设lim u=A, lim v=B,且B壬0,那么
u limu A
lim—=——=—
v lim v B
推论假设lim u=A, C为常数，k£N,那么
(1) lim C • u=C , lim u=C • A；
(2) lim uk= (limu)k = Ak
注运用这一法那么的前提条件是u与v的极限存在(在商的情形下还要求分母的极限 不为零)。
&两个重要极限
lim ( l)x
二、 11 + — =e
' 1 X &函数的持续性
一、函数持续性的概念
lim
假设函数f(x)在点x及其左右有概念，且 f(x)=f(x ),那么称函数f(x)
° X T X °
)
在点X。处持续，X。为函数f(x)的持续点。
明白得那个概念要把握三个要点：
(1) f(x)要在点X及其左右有概念：
0
lim
(2) f(x)要存在
X T X
lim
(3) f(x)= f(x )o
x T x °
J
增量
Ax=x-x Ay= f(x)- f(x )
0 0
设函数f(x)在点X及其左右有概念，若是当自变量X在点X处的増量Ax趋近于零
0 0
时，相应的函数增量Ay也趋近于零，即hm ^Ay = o,那么称函数f(x)在点x处持续， △X T 0 0
X。为f(x)的持续点。
2.函数在区间上的持续性、持续函数
若是函数f(x)在区间(a, b)上每一点上持续，那么称函数f(x)在区间(a, b)上
持续。
若是函数「(x)在某个区间上持续，就称f(x)是那个区间上的持续函数。
二、持续函数的运算与初等函数的持续性
若是两个函数在某一点持续，那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也 持续。
设函数U=(p&)在点X处持续，且u = 0 Ax Ax -> 0 Ax
还可记作y，I或：' I ， o
x=x0 ax x=x° ax x=x0
函数f(x)在点X可导且f，(x )=A等价于f' (X )和r (x )都存在且等于A,即
0 0 - 0 +0
fz(x )=Aof《 )=f(x )=A°
0 - 0 +0
依照那个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或尽管都存在但不相等, 该点的导数就不存在。
&导数的四那么运算法那么和大体公式
一、导数的四那么运算法那么
设函数u=u(x), v=v(x)都可导，那么
(1) (U 土 V)= U，土 讨；
!
(2) (u・v)=i/ v+u,专门的，(k・u)' =k・u'，其中k为常数。
， ，
(u 1 u* • v — u • vr f k \ k - vf
(3) 假设v。。，那么一= ,专门的，-=-——，，其中k是
(V) V2 \ V J V2
常数。
推论假设函数U =u(x), u =u (x) u =u (x)都可导，那么
I 1 2 2 m m
(1) ( U + U +--- + U ) = UZ +U# + - Uf :
1 2 m I 2 m
(2) (u u •••□ )=ifu • -u +u u* •••□ + u u .if.
1 2 m I 2 m 1 2 m I 2 m
假设函数y=f(x)在开区间I内单调、可导，且f' (x)HO,那么反函数x = f-i(y)在对 应区间内可导，且¥ >(y)l = ^,或y"x；=i。
二、导数的大体公式
(1)GJ=O, C为任意常数；
(2) (a)=a.xx,a为任意非零实数;
⑶ C)= axlna,a>0 且 a=l；
(4) (x) = e*；
(5) Gog J = —, a>0 且 aAl；
a xin a
(6) (in x) = A ；
X
(7) Cin x) = cos x ；
(8) tos x) = - sin x ；
(9) (tan x J = secix；
(10) tot xJ =-CSC2X；
(11) (arcsin x) = ；
(12) 