湖南省怀化市二酉苗族乡中学高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省怀化市二酉苗族乡中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 因指数函数是增函数（大前提）,而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”，上面推理的错误是                （     ）     A．大前提错导致结论错            B．小前提错导致结论错      C．推理形式错导致结论错          D．大前提和小前提都错导致结论错   参考答案： A 略 2. 已知数列{an}中，，时，，依次计算，，后，猜想an的表达式是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 由，当时；当时；当时；归纳猜想可得. 3. 已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝ A．15          B．30             C．45               D．60 参考答案： C 4. 如下图，该程序运行后输出的结果为（   ） A  7    B 15      C 31 D 63 参考答案： D 5. 复数(    )    A. B. C. D. 参考答案： B 略 6. 在△ABC中，a=1，C=60°若，，则A的值为（    ）     A．30° B．60° C．30°或150°  D．60°或120° 参考答案： A 略 7. 一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－,)，则a＋b的值是（         ）。   A. 10           B. －10          C.  14          D. －14 参考答案： D 8. 已知等差数列的前n项和为，若则等于 (　　) A.16　　           B.8                 C.4             D.不确定 参考答案： B 9. 等比数列中， ，，则值为（    ）     A．5    B．6    C．7    D．8 参考答案： B 10. 若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A.(－∞,0) B. (－∞,2) C. [－1,1] D. (－∞, －1) 参考答案： D 【分析】 该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围. 【详解】命题“存在，使”的否定为： 任意， 总成立. 所以，所以，选D. 【点睛】存在性命题和全称命题可以相互转化，如果存命题是假命题，则全称是真命题，后者可以看成恒成立问题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果对任意实数恒成立，则的取值范围是               . 参考答案：      12. 展开式中不含项的系数的和为           . 参考答案： 略 13. 命题“”为假命题，则实数的取值范围是                    . 参考答案： 略 14. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有    种. 参考答案： 解析：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法.同理，完成第二类办法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有种方法. 15. 已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为                参考答案： 16. 的解集是______ 参考答案： 【分析】 根据绝对值不等式的解法，直接解出不等式的解集. 【详解】由得或，即或，故不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 17. 一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1到10．有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯．则符合要求的开法总数______． 参考答案： 133 【分析】 由题可知10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏，再利用插空法分别求出开2，3，4，5盏的情况数，即可得到答案. 【详解】要满足这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯，则10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏； 当开2盏时，符合要求的开法总数：种； 当开3盏时，符合要求的开法总数：种 当开4盏时，符合要求的开法总数：种 当开5盏时，符合要求的开法总数：种， 所以符合要求的开法总数：36+56+35+6=133 故答案为133. 【点睛】本题考查分类计数原理，以及排列组合中的插空法，属于中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． （1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？ （2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 参考答案： （1）（2）点在的延长线上，且 试题分析：（1）以 分别为轴,建立关于轴,轴，建立空间直角坐标系,可得向量 的坐标关于 的表达式，而平面 的法向量 ，可建立  关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于 ，建立方程组并解之可得平面 的一个法向量为 ，而平面与平面所成的二面角等于向量 所成的锐角，由结合已知条件建立的方程并解，即可得到的值，从而确定点 的位置。 （1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，， ∵，∴， 则，易得平面的一个法向量为， 则直线与平面所成的角满足：（*）， 于是问题转化为二次函数求最值， 而，当最大时，最大， 所以当时，，此时直线与平面所成的角得到最大值． （2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，． 由，得，解得 令，得，于是 ∵平面与平面所成的锐二面角为， ∴ 解得，故点在的延长线上，且． 19. 某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x﹣5）2，其中2＜x＜5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件． （1）求a的值； （2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值； （2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值． 【解答】解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+8=10，故a=2； （2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+2（x﹣2）2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f（x）=（x﹣2）[+2（x﹣5）2]=2+2（x﹣2）（x﹣5）2， 从而，f′（x）=6（x﹣5）（x﹣3）， 于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表： x （2，3） 3 （3，5） f'（x） + 0 ﹣ f（x） 单调递增 极大值10 单调递减 由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于10， 答：当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 20. 已知函数f（x）=x2﹣2elnx．（e为自然对数的底数） （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线的方程． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． f（x）的导数为=， 由0＜x＜可得f′（x）＜0；由x＞可得f′（x）＞0． ∴f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）∵f（1）=1，f′（1）=2﹣2e． ∴切线为y﹣1=（2﹣2e）（x﹣1） 即切线方程为（2e﹣2）x+y+1﹣2e=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，考查方程思想的运用，以及运算求解能力，属于基础题． 21. 已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式与Sn （2）数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）通过a1，a2，a4依次构成等比数列，计算即得结论； （2）通过分离分母可得bn=﹣，并项相加即得结论． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}的公差为2， ∴a2=2+a1，a4=2×3+a1， 又∵a1，a2，a4依次构成等比数列， ∴（2+a1）2=a1（2×3+a1）， 解得a1=2， ∴an=2n，Sn=2×=n（n+1）； （2）∵Sn=n（n+1），∴bn===﹣， ∴Tn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=． 【点评】本题考查等差数列的通项、前n项和，考查并项相加法，分离分母是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 22. （本题满分14分） 已知函数，，若对任意的都有，求实数的取值范围． 参考答案： 解：构造函数，即，……1分 对任意的都有，则在上恒成立，只要在上恒成立，                                         ……2分 ．                                               ……3分 　　由，解得或，                ……4分 若显然，函数在上为增函数          ……5分 所以．                              ……6分www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 若， ，当（0，）时，，F(x)在（0，）为递减，当(,+∞）时，，F(x)在（0，）为递增，……9分 所以当时，为极小值，也是最小值            ……10分 ，即，解得，则．                                  ……12分 　　特别地，当时，也满足题意．   ……13分 　　综上，实数的取值范围是．          ……14分 略