资源描述
河南省豫北名校联盟高三第三次模拟考试
理科数学试题
(考试时间:120分钟 试卷满分150分)
注意事项:
1.答题前,务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.考生作答时,请将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4.请保持卡面清洁,不折叠,无破损。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.复数,则复数的虚部是
2.设全集,则右图阴影部分表示的集合为,
3.已知是平面内的两条直线,则“直线且”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件的
4.党的十八大以来,我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就,农村贫困人口大幅减少,解决困扰中华民族几千年的贫困问题,取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年,下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.
根据该条形图分析,下述结论中正确的个数为
①平均每年减贫人数超过1300万;
②每年减贫人数均保持在1100万以上:
③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;
④历年减贫人数的中位数是1240(万人) .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为
6.已知为等差数列的前项和,若,则
A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
7.已知直线将圆平分,且与直线垂直,则的方程为
8.四边形中,,则
9.现有如下信息:
(1)黄金分割比(简称:黄金比)是指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为.
(2)黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.
(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.
由上述信息可求得
10.已知抛物线上一点,为焦点,直线交抛物线的准线于点,满足,则抛物线方程为
11.已知函数的部分图象如图所示,关于此函数的下列描述:
①; ②;
③若,则;
④若,则.
其中正确的命题是
A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ①②
12.已知函数与函数的图象交点分别为:,,则
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知命题“存在,使”是假命题,则实数的取值范围是_____.
14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为_________.
15.在中,,的面积为,为边的中点,当中线的长度最短时,边长等于________.
16.若为双曲线的左焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于两点,则的取值范围是________.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且、、成等差数列,。
⑴证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
⑵若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,
求的值.
18.(本小题满分12分)
已知函数的
部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)在中,角的对边分别是,
若,求的取值范围.
19.(本小题满分12分)
如图,扇形ADB的半径为2,圆心角∠AOB=120°.
PO⊥平面AOB,PO=,点C为弧AB上一点,点M在线段
PB上,BM=2MP,且PA∥平面MOC,AB与OC相交于点N.
(1)求证:平面MOC⊥平面POB;
(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值.
20.(本小题满分12分)
设为椭圆上任一点,F1,F2为椭圆的左右两焦点,短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形,
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线:与椭圆交于、两点,直线,,的斜率依次成等比数列,且的面积等于,求椭圆的标准方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数的极大值为,其中e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)求实数k的值;
(2)若函数,对任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x)恒成立.求实数a的取值范围;
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,极轴与轴的非负半轴重合.曲线的极坐标方程是,直线的极坐标方程是.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于点、,求的值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)解不等式;
(2)若对一切实数均成立,求的取值范围.
理科数学答案
1. 【试题解析】D 复数的虚部为,故选D.
2.【试题解析】A 易知阴影部分为集合,故选A.
3. 【试题解析】B 若与不相交,则“直线且”不能推出“”;反之,如果“”,无论与是否相交,都能推出“直线且”,故“直线且”是“”的必要不充分条件,故选B.
4.【试题解析】C 由图易知①②③正确,④中位数应为1289(万),④错,故选C.
5.【试题解析】C 设事件“第1次抽到代数题” ,事件“第2次抽到几何题”,则,故选C.
6.【试题解析】C 由题意,所以,故选C.
7.【试题解析】D 由题意知,直线过点,斜率为,所以直线,故选D.
8.【试题解析】B 由题意知,所以,故选B
9.【试题解析】D 由题意,设为的黄金三角形,
有,所以,
所以,
另外,,也可获得此结果,故选D.
10.【试题解析】C 由知为线段上靠近的三等分点,所以,有,故选C.
11.【试题解析】C 由图知,,,故①正确,②错误;③中,而直线是函数的对称轴,故③正确,④错误,故选C.
12.【试题解析】D 由题意化简,,可知的图象与的图象都关于点对称,又,所以在上单调递减,由可知,在上单调递减,在上单调递增,由图象可知,与的图象有四个交点,且都关于点对称,所以所求和为4,故选D.
13. 14.12 15. 16.
17.(本小题满分12分)
【解析】⑴证明:因为n,,成等差数列,所以,①所以.②
①-②,得,所以.又当时,,所以,所以,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.
(2)根据(1)求解知,,,所以,
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
又因为,,,,,,,,
,,,
所以
.
18.(本小题满分12分)
【解】(Ⅰ)由图像知,,∴,
由图像可知,, ∴, ∴,
∴, 又∵, ∴, ∴.
(Ⅱ)依题设,,
∴,
即,
∴, 又, ∴. ∴.
由(Ⅰ)知,
,
又∵, ∴, ∴,
∴的取值范围是.
19.(本小题满分12分)
【分析】(1)利用余弦定理可求得AB,BN,ON的长度,进而得到OB⊥ON,又PO⊥ON,由此得到ON⊥平面POB,再利用面面垂直的判定得证;
(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量公式得解.
【解答】解:(1)证明:∵PA∥平面MOC,PA在平面PAB内,平面PAB∩平面MOC=MN,
∴PA∥MN,
∵BM=2MP,
∴BN=2AN,
在△AOB中,由余弦定理有,=,
∴,
又在△OBN中,∠OBN=30°,由余弦定理有,=,
∴OB2+ON2=BN2,故OB⊥ON,
又PO⊥平面ABC,ON在平面ABC内,
∴PO⊥ON,
又PO∩OB=O,且PO,OB都在平面POB内,
∴ON⊥平面POB,
又ON在平面MOC内,
∴平面MOC⊥平面POB;
(2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为
x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
则,,
设平面POA的一个法向量为,则,可取;
设平面MOC的一个法向量为,则,可取,
∴,
∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为.
20.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)由题意可知,
所以; 4分
(Ⅱ)设点,,则由,消,得,
因为直线与椭圆交于不同的两点,
所以,
由韦达定理得,,
由题意知,,
即,
所以,即, 8分
设点到直线的距离为,则,
=
=,
所以,解得
即椭圆标准方程为 12分
21.(本小题满分12分)(12分)
【解答】解:(1)f'(x)=,x>0,
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减;
所以f(x)的极大值为f(e)=,故k=1;
(2)根据题意,任意x∈(0,+∞),g(x)≥af(x),即,
化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0,令h(x)=xex﹣alnx﹣ax﹣a,x>0,
h(x)=elnxex﹣alnx﹣ax﹣a=elnx+x﹣a(lnx+x)﹣a,
令lnx+x=t,t∈R,设H(t)=et﹣at﹣a,H'(t)=et﹣a,只需H(t)≥0,t∈R,
当a<0时,当t<0时,H(t)<1﹣at﹣a,所以H()<1﹣a(﹣1)﹣a=0,不成立;
当a=0时,H(t)≥0显然成立;
当a>0时,由H'(t)=et﹣a,当t∈(﹣∞,lna),H(t)递减,t∈(lna,+∞),H(t)递增,
H(t)的最小值为H(lna)=a﹣alna﹣a=﹣alna,
由H(lna)=﹣alna≥0,得0<a≤1,
综上0≤a≤1;
22.(本小题满分10分)
【详解】(1)曲线化为:,将代入上式,即,
整理得曲线的直角坐标方程.由,得,将代入上式,化简得,
所以直线的直角坐标方程.
(2)由(1)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),
即(为参数),代入曲线的直角坐标方程,得,
整理,得,所以,,
由题意知,.
23.(本小题满分10分)
解:(1)当时,,原不等式即为,
解得;
当时,,原不等式即为,
解得;
当时,,原不等式即为,
解得;
综上,原不等式的解集为或.┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
(2).
当时,等号成立.
的最小值为,要使成立,故,
解得的取值范围是:.┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
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