福建省南平市建瓯老区中学高三数学文期末试卷含解析

福建省南平市建瓯老区中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 A．    B．  C．    D． 参考答案： D 2. 抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7 ∴x1+x2=5， ∴A、B到y轴的距离之和为5， 故选：D． 3. 已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，﹣1），若，则cos2θ+sin2θ=（　　） A．﹣ B． C． D． 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】求出tanθ=，把所求式子的cos2θ利用二倍角的余弦函数公式化简后，将所求式子的分母“1”变为sin2θ+cos2θ，然后分子分母都除以cos2θ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值． 【解答】解：因为向量=（sinθ，cosθ），=（2，﹣1），， 所以2sinθ﹣cosθ=0 所以tanθ=， 所以sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ== 故选：D． 【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．做题时注意“1”的灵活变换． 4. 已知实数满足，则的最小值，最大值分别为 A．         B．        C．0,3         D．0,6 参考答案： B 略 5. 设, “”是 “复数是纯虚数”的           （　　）     A．充分而不必要条件                      B．必要而不充分条件           C．充分必要条件                          D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 6. 计算等于                                                 （     ）  A.            B.         C.         D. 参考答案： B ，选B. 7. 设集合, 那么下面中的4个图形中,      ①                                           ②                                     ③                                         ④  能表示集合到集合的函数关系的有   (A) ① ② ③ ④   (B) ① ② ③     (C) ② ③         (D) ②   参考答案： 答案：C 8. 设函数是上的减函数，则有（   ） A．        B．      C．       D． 参考答案： B 9. 如图，ABCD是边长为l的正方形，点O为正方形ABCD的中心，BCEF为矩形，ED⊥平面ABCD，二面角A-BC-E的平面角为45°，则异面直线EO与BF所成的角为（ ）   A.90°           B.60°   C.45°           D.30°   参考答案： 答案:D  10. 曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为(     ) A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2 参考答案： A 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】常规题型；计算题． 【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=， ∴y′=， 所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2； 所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为： y+1=2×（x+1），即y=2x+1． 故选A． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数是　  　． 参考答案： 15 【考点】二项式系数的性质． 【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数． 【解答】解：（1+x）（1+）5 =（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+ ）， ∴展开式中x2项的系数是： 5+10=15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题． 12. 若实数且，则          ，          ． 参考答案：   13. 过直线上一点作圆的两条切线为切点，当直线关于直线对称时，            ． 参考答案： 14. 在从空间中一点P出发的三条射线PA，PB ，PC上分别取点M，N，Q， 使PM=PN=PQ=1，且，，则三棱锥P-MNQ的外接球的体积为 _______________.   参考答案：       略 15. 已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x﹣（m+1）y=1垂直，则m的值为﹣； 若直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4，则m的值为          ． 参考答案： ±2 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由直线垂直可得m﹣m（m﹣1）=0，解方程可得m值；由圆的弦长公式可得m的方程，解方程可得． 【解答】解：由直线垂直可得m+m+1=0，解得m=﹣； 化圆C为标准方程可得x2+（y﹣1）2=9， ∴圆心为（0，1），半径r=3， ∵直线l被圆C：x2+y2﹣2y﹣8=0截得的弦长为4， ∴圆心到直线l的距离d==， ∴由点到直线的距离公式可得=，解得m=±2 故答案为：﹣；±2 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属中档题． 16. △ABC为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB上的高，P为线段OC的中点，则=     ． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】可分别以CB，CA两直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件容易求出CA=CB=，从而可确定图形上各点的坐标，从而得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可． 【解答】解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系； 根据条件知CA=CB=； ∴A（0，），B（，0），O（），P（）； ∴； ∴． 故答案为：． 【点评】考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，建立完坐标系能够求出图形上点的坐标，从而求出向量的坐标，向量数量积的坐标运算． 17. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为       。 参考答案： 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位得到，即。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求 实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合关系中的参数取值问题． 【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A?B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围． 【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2 故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．… 若，则，即，即﹣2＜x＜3 ．… 因为A∩B=A，即A?B， 所以． 解得0≤a≤1，… 故实数a的取值范围为[0，1]… 19. 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，且当n∈N*时，anbn+1﹣4bn+1=4nbn． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}满足cn=（n∈N*），记数列{cn}的前n项和为Tn，求使Tn＞成立的正整数n的最小值． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）数列{bn}满足b1=1，b2=2，且当n∈N*时，anbn+1﹣4bn+1=4nbn．n=1时，2a1﹣4×2=4×1，解得a1． （2）cn====﹣，利用裂项求和方法可得Tn，再利用数列单调性即可得出． 【解答】解：（1）数列{bn}满足b1=1，b2=2，且当n∈N*时，anbn+1﹣4bn+1=4nbn． ∴n=1时，2a1﹣4×2=4×1，解得a1=6． ∴an=6+2（n﹣1）=2n+4． （2）cn====﹣， ∴数列{cn}的前n项和为Tn=++…+=﹣． 由Tn＞，即﹣＞，化为：＜， 解得n≥13． ∴使Tn＞成立的正整数n的最小值为13． 　 20. 如图,正方体中,已知 为棱上的动点. (1)求证:⊥. (2)当为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.   参考答案： 解一.连设,连. (1)由面,知,     又, 故面.     再由面便得⊥. (2)在正中,,而, 又面,平面,且, 故⊥面,于是,为二面角的平面角. 正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故. 再由知面,故是直线与平面所成角. 又,故直线与平面所成角的正弦是.     解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.    (1)易得.     设,则,,从而 ,于是 (2)由题设,,则,.     设是平面的一个法向量,则,即                  于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是. 略 21. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体的棱长为. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求四棱锥的体积. 参考答案： （1）因为 ， 直线与所成的角就是异面直线与所成角. ……2分 又为等边三角形， 异面直线与所成角的大小为.                ……6分 （2）四棱锥的体积         ……12分 .    22. 选修4－1：几何证明选讲. 如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E. (1).求证:E为AB的中点; (2).求线段FB的长. 参考答案： (1) 由题意知，与圆和圆相切，切点分别为和， 由切割线定理有：所以，即为的中点.…5分 (2)由为圆的直径