湖南省益阳市郭公殿中学高一数学理下学期期末试卷含解析

湖南省益阳市郭公殿中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（） A． f（x）的图象关于直线x=对称 B． f（x）的图象关于点（，0）对称 C． 把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象 D． f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数 参考答案： C 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性． 专题： 综合题；压轴题． 分析： 由题意求出函数对称轴，判断A，不正确；对称中心代入验证可知B的正误，根据平移判断C的正误，根据单调性判断D的正误即可． 解答： 由对称轴x=kπ+  k∈Z，A不正确， （，0）代入函数表达式对B选项检验知命题错； C平移后解析式为f（x）=sin=sin（2x+）=cos2x，故其为偶函数，命题正确； D．由于x∈时2x+∈，此时函数在区间内不单调，不正确． 故选C． 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题． 2. 函数f（x）=log（x2+2x﹣3）的单调增区间是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣3，﹣1） 参考答案： A 【考点】复合函数的单调性． 【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，即可得到结论． 【解答】解：令t=x2+2x﹣3，则由x2+2x﹣3＞0可得x＞1或x＜﹣3 又t=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴函数在（﹣∞，﹣3）上单调减 ∵y=在（0，+∞）上单调减 ∴原函数的单调增区间为（﹣∞，﹣3） 故选A． 3. 设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式进行讨论进行求解即可． 【解答】解：当a≥3时，f（f（a））=f（2a）=，所以a≥3符合题意； 当时，f（a）=3a﹣1≥3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=23a﹣1=2f（a）， 所以符合题意； 当时，f（a）=3a﹣1＜3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=9a﹣4=23a﹣1， 结合图象知：只有当时符合题意； 综上所述，a的取值范围为． 故选：D 【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键． 4. 下列各式的值等于的是（    ） A.        B.         C.      D. 参考答案： C 5. 若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（　　） A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣ 参考答案： B 【考点】余弦函数的图象． 【分析】利用余弦函数的图象对称性，诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[﹣，]上的最小值． 【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，故有f（π）=cos（2π+θ）=0，故有θ=kπ+，k∈Z， ∴θ=，f（x）=﹣sin2x． 在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，故当2x=﹣时，f（x）取得最小值是﹣1， 故选：B． 　 6. 若是夹角为60°的两个单位向量,，则(    )    A、2      B、7     C、         D、 参考答案： D 略 7. 已知函数定义域是，则的定义域是（    ） A.      B.    C.       D. 参考答案： A 略 8. 若不等式对于一切成立，则a的最小值是（    ）   A．0       B. -2       C.       D.-3 参考答案： C 略 9. （满分10分）已知集合，,求. 参考答案： 解：由，知   故 ；………4分        由，知 ，或  故  ……8分        因此 ………10分 略 10. 已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于        (　  　) A．{0,1,2,6,8}　      B．{3,7,8}     C．{1,3,7,8}     D．{1,3,6,7,8} 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围为__________． 参考答案： 若对任意的实数都有成立， 则函数在上为减函数， ∵函数， 故， 计算得出：． 12. 过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于　　． 参考答案： ﹣ 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率 ﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值． 【解答】解：由，得 x2+y2=1（y≥0） ∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点） 由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k， 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合 则﹣1＜k＜0 ∴直线l的方程为： 即 则圆心O到直线l的距离 直线l被半圆所截得的弦长为 |AB|= ∴ = = = 令 则 当 S△AOB有最大值为 此时， ∴ 又∵﹣1＜k＜0 ∴ 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答． 13. 函数的最小正周期是      . 参考答案： 14. 某市某年各月的日最高气温（℃）数据的茎叶图如图所示，若图中所有数据的中位数与平均数相等，则x+y=__________. 参考答案： 18 【分析】 先计算数据的中位数为12,再利用平均值公式得到答案。 【详解】根据茎叶图：共有12个数，中位数为 平均数为： 故答案为18 【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，意在考查学生的计算能力. 15. sin960°的值为　　． 参考答案： 略 16. 已知函数，若，则此函数的单调递增区间是_____________． 参考答案： (－1,1) 17. 当时，函数的值域为       . 参考答案：       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下： 组别 频数 频率 145.5～149.5 8 0.16 149.5～153.5 6 0.12 153.5～157.5 14 0.28 157.5～161.5 10 0.20 161.5～165.5 8 0.16 165.5～169.5 m n 合计 M N (1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值； (2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图； (3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？ 参考答案： 略 19. （本小题满分8分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上． （1）证明：⊥； （2）已知，，，． 求二面角的大小．   参考答案： （1）证明：平面， 为中点， 平面 . （2）作于，连 由（1）知平面 ， 为二面角的平面角 易得 进而得 .即二面角的大小为. 略 20. 设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得； （Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得． 【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==， ∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A） 又B为钝角，∴+A∈（，π）， ∴B=+A，∴B﹣A=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0， ∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A） =sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣）2+， ∵A∈（0，），∴0＜sinA＜， ∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤ ∴sinA+sinC的取值范围为（，] 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题． 21. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面PCE； （Ⅱ）求三棱锥C－BEP的体积． 参考答案： （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG， ∴FG为△CDP的中位线， ∴FGCD， ∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， ∴ABCD， ∴FGAE， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG， 又EG平面PCE，AF平面PCE， ∴AF∥平面PCE； （Ⅱ）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE， PA是三棱锥P－BCE的高，  Rt△BCE中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C－BEP的体积 V三棱锥C－BEP=V三棱锥P－BCE=． 略 22. 一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片． （I）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率； （II）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率. 参考答案： 解： （1）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．其中数字之和大于的是，， 所以． （2）设表示事件“至少一次抽到”， 第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：，共个基本结果． 事件包含的基本结果有，共个基本结果． 所以所求事件的概率为．