2023年江苏省无锡市潘家坝中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2023年江苏省无锡市潘家坝中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，平形四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积为6，则△ABC的面积为    A. 54 B. 58 C. 64 D.72 参考答案： D 2. 同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D； 当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 3. 命题“”的否定为                      （   ）                          A.               B. C.               D. 参考答案： B 略 4. 如图，四棱锥中，，， 和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为 A．     B．       C．      D． 参考答案： A 5. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则 =（  ）                   （A）2010    （B）2011     （C）2012       （D）2013 参考答案： A 令，，则g（x）=h（x）+m（x）．  则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）． 设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上， ∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2． ∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（） =[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010． 由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0． ∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（） =[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0． ∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（） +m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（） =2010+0=2010，选A. 6. 复数 A．     B．      C．      D． 参考答案： A 略 7. 设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是(     ) A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q 参考答案： B 【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系． 【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb）， q=f（）=ln（）≥ln（）=p， r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）， ∴p=r＜q， 故选：B 【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题． 8. 若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是(    ) A．等比数列 B．等差数列 C．等比或等差数列 D．非等差数列 参考答案： C 9. （5分）（2015?澄海区校级二模）对a、b∈R，运算“⊕”、“”定义为：a⊕b=，ab=，则下列各式其中不恒成立的是（　　） （1）ab+a⊕b=a+b （2）ab﹣a⊕b=a﹣b （3）[ab]?[a⊕b]=a?b （4）[ab]÷[a⊕b]=a÷b． 　 A． （1）（3） B． （2）（4） C． （1）（2）（3） D． （1）（2）（3）（4） 参考答案： 【考点】： 函数恒成立问题． 【专题】： 新定义． 【分析】： 根据运算分别讨论a≥b或a＜b时结论是否成立即可． 解：根据定义，若a≥b，则ab=a，a⊕b=b，此时（1）ab+a⊕b=a+b （2）ab﹣a⊕b=a﹣b  （3）[ab]?[a⊕b]=a?b  （4）[ab]÷[a⊕b]=a÷b．都成立． 若a＜b时，ab=b，a⊕b=a， （1）ab+a⊕b=b+a=a+b成立． （2）此时ab﹣a⊕b=b﹣a∴此时（2）不成立． （3）[ab]?[a⊕b]=b?a=a?b，此时（3）成立． （4）若a＜b时，ab=b，a⊕b=a，此时[ab]÷[a⊕b]=b÷a，∴（4）不一定成立． 故选：B． 【点评】： 本题主要新定义，根据a，b的大小关系进行讨论即可，本题的实质是考查加法和乘法满足交换律，减法和除法不满足交换律． 10. 如图,把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖，则他投中阴影区域的概率为(     ) A.      B.       C.      D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为                . 参考答案： 3 略 12. 设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是         . 参考答案： 13. 已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为        ． 参考答案： ﹣1和3 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】因为（1，3）是直线与曲线的交点，所以把（1，3）代入直线方程即可求出斜率k的值，然后利用求导法则求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率，让斜率等于k列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，然后把切点坐标和a的值代入曲线方程，即可求出b的值． 解：把（1，3）代入直线y=kx+1中，得到k=2， 求导得：y′=3x2+a，所以y′|x=1=3+a=2，解得a=﹣1， 把（1，3）及a=﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b=3， 则b的值为3． 故答案为：﹣1和3． 【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题． 14. 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是　　． 参考答案： 15斤 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案． 【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2， 则S5=， ∴金杖重15斤． 故答案为：15斤． 【点评】本题考查等差数列的前n项和，是基础的计算题． 15. ．已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是                     . 参考答案： 若与的夹角为锐角，则，所以的取值范围是。 16. 已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若为锐角，则的取值范围是______． 参考答案： 试题分析：由于圆心到直线的距离,当时,,所以,即,注意到,故,即. 考点：圆与直线的位置关系及运用． 17. 有下列四个命题： ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行． 其中正确的命题有　   　（填写所有正确命题的编号）． 参考答案： ②④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．， 【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中， 对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错； 对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确； 对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错； 对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确． 故答案为：②④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分） 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下： 试根据图表中的信息解答下列问题： (I)求全班的学生人数及分数在[70，80)之间的频数； (II)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80)，[80，90)和 [90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80)分数段的人数X的分布列和数学期望. 参考答案： 略 19. （12分）如图，三棱柱中，⊥面，，，为的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得 ？请证明你的结论. 参考答案： 略 20. 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量为取出2球中白球的个数，已知． （Ⅰ）求袋中白球的个数； （Ⅱ）求随机变量的分布列及其数学期望． 参考答案： （Ⅰ）设袋中有白球个，则，    即，解得．......................4分 （Ⅱ）随机变量的分布列如下： 0 1 2                                     ...............................7分   ................... ...2分 21. （12分） 已知关于x的不等式组，其中.    （Ⅰ）求不等式①的解集；    （Ⅱ）若不等式组的解集为空集，求实数的取值范围. 参考答案： 解析：（Ⅰ）由得     .                  ……………………………………4分 即不等式①的解集是.   ……………………5分 （Ⅱ）由，得 或.                         …………9分 ∵原不等式组的解集为空集， ∴不等式①与不等式②的解集的交集为空集. ∴.           …………………………12分     （注：若答案中少等号，只有，扣1分） 22. （本小题满分12分）   已知A、B分别为曲线 与x轴的左、右两个   交点，直线 过点B且与x轴垂直，P为上异于点B的点，连结   AP与曲线C交于点A．     (1)若曲线C为圆，且 ，求弦AM的长；     (2)设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程． 参考答案：