2023年湖北省荆门市沙洋县后港中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2023年湖北省荆门市沙洋县后港中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 我们把可表示为两个连续正奇数的平方差的正整数称为“和谐数”，则在集合中，共有“和谐数”的个数是                                                  （    ）                                                                          A．502                     B．503                C．251                      D．252 参考答案： C 2. 设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（    ） ．若，则对任意实数恒成立； ．若，则函数为奇函数； ．若，则函数为偶函数； ．当时，若，则． 参考答案： 3. 设，若和的等差中项是0，则的最小值是  (     ) A．1           B．2            C．4           D． 参考答案： B 略 4. 设，满足线性约束条件若目标函数（）取得最大值的最优解有无数个，则的最小值为（   ） A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 参考答案： B 由题可知约束区域如图所示： 由得 ∵ ∴平移直线，由图像可知当直线和直线平行时，此时目标函数取得最大值的最优解有无数个，此时 ∴ ∴当经过点(3,0)时，z取最小值－3 故选B   5. 已知三棱锥P—ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为            （    ）     A． B． C． D． 参考答案： B 略 6. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn()，，则的值为(     ). A.11       B.12        C.20       D.22 参考答案： D 结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得 ，所以结合，可得，故选D。   7. 若变量满足约束条件，则的最大值为 A．        B．         C．          D． 参考答案： C 8. 如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，让△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，则的取值范围是（    ） A．    B．   C．      D． 参考答案： A 略 9. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（    ） （A）4    （B）8    （C）10    （D）12 参考答案： B 略 10. 已知i为虚数单位，则复数ii对应的点位于 A．第一象限         B．第二象限      C．第三象限    D．第四象限 参考答案： A ，其对应的点为，位于第一象限 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=的图象上的两点（可以重合），点M在直线x=上，且．则y1+y2的值为　___________． 参考答案： -2 略 12. 函数在区间上的最大值是            . 参考答案： 2 13. 已知函数，若的定义域中的、满足，则     . 参考答案： -3 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】－3 【试题分析】函数的定义域需满足，即，， ， 则，所以是奇函数，在其定义域内有 又因为，则. 故答案为－3. 14. 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________. 参考答案： 15. 已知，则的展开式中x的系数为           ． 参考答案： 150 16. 在展开式中含的项的系数为            .（结果用数值表示） 参考答案： 略 17. 过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是　　． 参考答案： 【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程． 【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4） PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1， 又由|PQ|=|PO|， 则有|PN|2=|PO|2+1， 即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1， 变形可得：6m+8n=24， 即P在直线6x+8y=24上， 则|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离， 且d==； 即|PQ|的最小值是； 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值： 若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则； 若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求的值； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 参考答案： 根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到，为等腰直角三角形，的可能取值为：，，，共种情况，其中：时，有种；时，有种；时，有种； （1）； （2），， 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表： 根据上表，. 19. 已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设为数列的前项和，求证：； （Ⅲ）求证：． 参考答案： 解析：（Ⅰ），所以 （Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以  （Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以  20. 如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，点G是AC的中点． （1）求证：B1C∥平面 A1BG； （2）若AB=BC，AC=，求证：AC1⊥A1B． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，连结OG，由三角形中位线定理得OG∥B1C，由此能证明B1C∥平面 A1BG． （2）由线面垂直得AA1⊥BG，由已知推导出tan∠AC1C=tan∠A1GA=，从而得到A1G⊥AC1，由此能证明AC1⊥A1B． 【解答】（1）证明：连结AB1，交A1B于点O，连结OG， 在△B1AC中，∵G、O分别为AC、AB1中点，∴OG∥B1C， 又∵OG?平面A1BG，B1C?平面A1BG， ∴B1C∥平面 A1BG． （2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG?平面ABC， ∴AA1⊥BG， ∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC， ∵AA1∩AC=A，∴BG⊥平面ACC1A1，∴BG⊥AC1， ∵G为棱AC中点，设AC=2，则AG=1， ∵，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，tan∠AC1C=tan∠A1GA=， ∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°， ∴A1G⊥AC1， ∵BG∩A1G=G，∴AC1⊥平面A1BG， ∵A1B?平面A1BG，∴AC1⊥A1B． 21. （本小题满分12分） 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 （1）       求实数b的值； （11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程. 参考答案： （I）由得      () 因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分 （II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………..12分 22. （本小题满分12分）    已知向量，函数。 （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角的对边分别为，若，求的值。 参考答案：