2023年广西壮族自治区百色市田东县第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2023年广西壮族自治区百色市田东县第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“”的（    ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 参考答案： A 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由得，则{1}， 故“”是“”的充分不必要条件， 所以A选项是正确的. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查利用集合法进行判断，可熟记“谁小谁充分，谁大谁必要”口诀，属基础题. 2. 若（+2x）6展开式的常数项为（　　） A．120 B．160 C．200 D．240 参考答案： B 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解（+2x）6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r2rx2r﹣6． 令2r﹣6=0，解得r=3， ∴（+2x）6展开式的常数项为C6323=160， 故选：B 3. 设函数则满足f(x)≤2的x的取值范围是 (A)[-1，2] (B)[0，2]       (C)[1，+∞) (D)[0，+∞) 参考答案： D 略 4. 的展开式中，常数项是（   ） A．            B．  　          C．             D． 参考答案： D ， 令，解得． ∴常数项为． 5. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，是的导函数,且当，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A. B.             C.             D. 参考答案： C 6. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当 时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（      ） A．   B．  C．   D． 参考答案： A 7. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 （A） （B） （C） （D）2 参考答案： B 略 8. 已知，则=(　 　). A.      B.       C.       D. 参考答案： C 因为， 所以 ， 所以， ，故选C.   9. 若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围是 (   )               A.     B.      C.     D. 参考答案： B 10. 是定义在上的奇函数，当时,，且，则不等式的解集是（    ）   （A）                    （B） （C）                   （D） 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是等积数列且，前21项的和等于62，则这个数列的公积等于                    ． 参考答案： 8 12. （文） 数列的通项公式，前项和为， 则=          . 参考答案： 13. 对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则          ． 参考答案： 3/4 14. 已知三棱锥A-BCD的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥A-BCD的四个面都相切，球与三棱锥A-BCD的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥A-BCD的三个面和球都相切（，），则球的表面积等于_______． 参考答案： 【分析】 根据几何关系，求得的半径，归纳出半径的通项公式，即可容易求得的表面积. 【详解】不妨设的半径为，正四面体的棱长为， 取中点为，球与平面切于点，球与平面切于点， 作截面，为△的外心，如下图所示： 容易知，，， 因为，故可得，解得； 同理由，故可得，解得， 以此类推，总结归纳可得是首项为，公比为的等比数列， 故可得， 则的表面积. 故答案为：. 【点睛】本题考查棱锥内切球半径的求解，涉及等比数列的通项公式求解，属压轴题. 15. 已知为第二象限角，，则=___________； 参考答案： 略 16. 如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 　俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________． 参考答案： 17. 设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，求实数λ的最小值． 参考答案： 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8G：等比数列的性质． 【分析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{an}的通项公式代入数列中，根据=﹣，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值． 【解答】解：（I）设公差为d，由已知得：， 即， 解得：d=1或d=0（舍去）， ∴a1=2， 故an=2+（n﹣1）=n+1； （II）∵==﹣， ∴Tn=﹣+﹣+…+﹣=﹣=， ∵Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥?n∈N*恒成立， 又=≤=， ∴λ的最小值为． 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．学生在求数列{}的前n项和时，注意利用=﹣． 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，、、分别为三边、、所对的角，若，，求的最大值． 参考答案： 解（1）（2分） 最小正周期为，由(kZ)可得(kZ) 即函数的单调递增区间为(kZ)（6分） （2）由可得,即，又0＜＜，所以．由余弦定理可得,即（11分），即．又,所以故故当且仅当,即时,取得最大值 略 20. 已知函数有两个零点，. （1）求a的取值范围； （2）设为f(x)的极小值点，证明：. 参考答案： 解：（1）（解法一）. ①当时，对恒成立，则在上单调递减. 所以在上至多有一个零点，与题意不符. ②当时，令，得. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以有两个不同的零点， 当时，得； 当时，满足且，所以在内有一个零点； 当时，满足且， 所以在内有一个零点. 综上可知，的取值范围为. （解法二） 因为有两个零点，所以方程有两个不同的解. 设函数，则，当时，；当时，. 所以. 当时，；当时，. 当时，.故的取值范围为. （2）证明：设，由，得，则（），，则， 由题知，则（*）. 所以，即， 令，，则， 所以，得，， 所以 当时，，， 令 ，，则恒成立. 所以在上单调递减，则. 所以即. 由（*）式得， 所以，即， 又，   21. （本小题满分14分） 如图,在六面体中,四边形ABCD是边  长为2的正方形,四边形是边长为1的正方 形,平面,平面ABCD,  求证: (Ⅰ)与共面，与共面． (Ⅱ)求证:平面 (Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).                                                               第(17)题图 参考答案： 本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解析：解法1（向量法）： 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有 ． （Ⅰ）证明： ． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：，， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面． 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于是． 由，得， 故，与共面． 过点作平面于点， 则，连结， 于是，，． ，． ，． 所以点在上，故与共面． （Ⅱ）证明：平面，， 又（正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线， 平面． 又平面过，平面平面． （Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，， 根据三垂线定理，有． 过点在平面内作于，连结， 则平面， 于是， 所以，是二面角的一个平面角． 根据勾股定理，有． ，有，，，． ，， 二面角的大小为． 22. 选修4－1：几何证明选讲 如图，是圆的直径，是弦， 的平分线交圆于点，， 交的延长线于点，交于点。 （1）求证：是圆的切线； （2）若，求的值。 参考答案： （1）连接，可得，∴，又，∴，又为半径，∴是圆的切线 （2）过作于点，连接，则有，。设，则，∴，由可得，又由，可得。 略