2023年辽宁省丹东市第十八中学高三数学文期末试卷含解析

2023年辽宁省丹东市第十八中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设a＞b＞0，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用．  【专题】计算题；压轴题；转化思想． 【分析】将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值． 【解答】解：=≥4 当且仅当取等号 即取等号． ∴的最小值为4 故选：D 【点评】本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值． 2. 函数的图像关于（   ） 轴对称   轴对称  原点对称  直线对称 参考答案： B 3. 在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（    ） （A）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 （B）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 （C）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米 （D）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 参考答案： D 略 4. 设，则=（   ） （A）                   （B）                   （C）                （D） 参考答案： A 试题分析：由题意得，，故，故选A. 考点：1.指数函数的运算；2.对数函数的运算；3.分段函数. 5. 过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 参考答案： D 【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出P的横坐标，再代入直线m的方程求出P的纵坐标，进而求出直线OP的斜率k2，计算 k1k2的值． 【解答】解：过点M（﹣2，0）的直线m的方程为  y﹣0=k1（x+2 ）， 代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k12﹣2=0， ∴x1+x2=，∴P的横坐标为 ， P的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点P（，）， 直线OP的斜率k2=， ∴k1k2=﹣． 故选D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段中点公式的应用，根据题意，求出点P的坐标是解题的关键和难点． 6. 函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　） 　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 参考答案： 考点： 数列的求和；根的存在性及根的个数判断．. 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案． 解答： 解：由图象变化的法则可知： y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=ln|x﹣1||的图象； 又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示： 两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点， 由中点坐标公式可得：xA+xB=﹣2，xD+xC=2，xE+xF=6 故所有交点的横坐标之和为6 故选B 点评： 本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题． 7. 等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn, 若, 则（    ）                                 参考答案： A 在等差数列中,选A. 8. 函数的定义域为R，对任意实数x满足，当的导数的单调递减区间是（     ）        A．[2k,2k+l]（kZ）                           B．[2k－1,2k]，（kZ）        C．[2k,2k +2]（kZ）                         D．[2k－2,2kl（kZ）  参考答案： A 9. 已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（　　） A．0 B．﹣100 C．100 D．10200 参考答案： B 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式． 【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解． 【解答】解：∵， 由an=f（n）+f（n+1） =（﹣1）n?n2+（﹣1）n+1?（n+1）2 =（﹣1）n[n2﹣（n+1）2] =（﹣1）n+1?（2n+1）， 得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100． 故选B 【点评】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力． 10. 下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围为           . 参考答案： 考点：圆与圆的位置关系 圆的方程化为标准方程为： 所以圆心C为（-4,0），半径为1． 若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则点C到直线的距离小于或等于2．即 解得：。 故答案为： 12. （文）设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为          . 参考答案： TT，所以5a2+1-a(2cosq-4sinq)≤4，      T，此式对任意实数成立，等价于， ①  若a≥0，则TT； ②  ②若a<0，则 TT. 由①②知：. 13. 函数的定义域是      参考答案： 略 14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则A=_    ▲    .. 参考答案： 15. 设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是            . 参考答案： 略 16. （不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是        . 参考答案： 略 17. 己知向量，满足||=2，丨丨=1，（﹣2）丄，则|+|=　    　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据条件可以求出，要求，先求，这样即可求得答案． 【解答】解：∵； ∴ ∴． ； ∴． 故答案是：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 参考答案： 解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－)(1－)=48个。1000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186 19. 已知函数f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）． （1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围； （2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，求正整数k的值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题． 【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；构造法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，推出a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值，推出结果． （Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立，转化为k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立． 法一：问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，构造新函数，求解新函数的最小值，然后求解k的值为1，2，3．                                                     … 法二，令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]，求出函数的导数，通过当2﹣k≥0时，导数的符号，求解k．当2﹣k＜0时，即k＞2时，求解k．即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax﹣x2（a∈R）可知x＞0，有：f′（x）=lnx+1+a﹣2x， ∵函数f（x）在区间[e，+∞） 上为减函数， ∴当x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，即lnx+1+a﹣2x≤0在区间[e，+∞）上恒成立，… ∴a≤2x﹣lnx﹣1在x∈[e，+∞） 上恒成立． 令g（x）=2x﹣lnx﹣1，，当时，g′（x）≥0，g（x）单增；时，g′（x）≤0，g（x）单减． ∴x∈[e，+∞）时，g（x）min=g（e）=2e﹣2∴a≤2e﹣2．                  … （Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞﹣x2+（k+a﹣1）x﹣k恒成立， 即k（x﹣1）＜xlnx+x恒成立． 法一：∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0． 则问题转化为对任意x∈（1，+∞）恒成立，… 设函数，则， 再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则． ∵x∈（1，+∞），∴m'（x）＞0， 则m（x）=x﹣lnx﹣2在x∈（1，+∞）上为增函数， ∵m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0， ∴?x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0． ∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0； 当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0         … ∴在x∈（1，x0）上递减，在x∈（x0，+∞）上递增． ∴h（x）的最小值为． ∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴ln（x0）+1=x0﹣1，代入函数，得h（x0）=x0， ∵x0∈（3，4），且k＜h（x），对任意x∈（1，+∞）恒成立， ∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3， ∴k的值为1，2，3．                                                     … 法二（同比例给分）：令g（x）=f（x）﹣[（k+a﹣1）x﹣k]=xlnx﹣（k﹣1）x+k（x＞1）， ∴g′（x）=lnx+1﹣（k﹣1）=lnx+2﹣k， 当2﹣k≥0时，即k≤2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上单调递增， ∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立，而k∈N* ∴k=1或k=2． 当2﹣k＜0时，即k＞2时，g′（x）=0?x=ek﹣2， ∴g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增， ∴恒成立， ∴k＞ek﹣2，而k∈N*， ∴k=3． 综上可得，k=1或k=2或k=3时成立． 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E是BB1的中点，D∈AB，∠A1DE＝90°. （1）以C为原点建立坐标系求D点的坐标 （2）求二面角D－A1C－A的大小.  (3) 求E到平面 A1CD的距