2023年湖南省郴州市华王中学高三数学理期末试题含解析

2023年湖南省郴州市华王中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象， 故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象向左至少平移个单位即可， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数 y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于基础题． 2. 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间0,1上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0                        B．2，＋∞) C．(－∞，0∪2，＋∞)               D．0,2 参考答案： D 3. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则可以是（   ） A．4                        B．-3                       C．                     D．-2 参考答案： D 试题分析：由已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则，即，所以或．故选D． 考点：平面向量数量积的运算． 4. 已知R是实数集，集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，则A∩（?RB）=（　　） A．（1，6） B．[﹣1，2] C． D． 参考答案： D 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】根据不等式的性质求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}， ={x|x＞6或x≤}， 则?RB={x|＜x≤6}， 则A∩（?RB）={x|＜x≤2}， 故选：D 5. 若函数存在零点，则的取值范围是（   ） （A）             （B）               （C）            （D） 参考答案： A 考点：函数与方程；导数的几何意义. 【易错点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．本题难点还在于如何应用反函数.本题难度较大. 6. 执行如图所示的流程图，输出的S的值为（  ） A.    B.       C.       D.   参考答案： B 7. 已知，集合，集合，若， 则 A．1                         B．2                           C．4                           D．8 参考答案： A 【知识点】集合的运算 【试题解析】若，则．所以 所以m+n=1． 故答案为：A 8. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为   A.      B.     C.     D. 参考答案： A 9. 在四面体ABCD中，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体的外接球的表面积为（　　） A．6π B．8π C．14π D．16π 参考答案： C 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积． 【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=10，x2+z2=5，y2+z2=13， 则有（2R）2=x2+y2+z2=14（R为球的半径），得R2=， 所以球的表面积为S=4πR2=14π． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一． 10. 给定命题:若,则； 命题:若，则. 则下列各命题中,假命题的是（     ） A．        B．       C．           D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x，y满足约束条件，若y=zx+z+3，则实数z的取值范围为　　． 参考答案： [﹣3，] 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，由y=zx+z+3得，利用z的几何意义进行求解． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由y=zx+z+3得，z=的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，3）连线的斜率的取值范围． 由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于O时，直线的斜率最小， 由，解得，即B（4，6）， ∴BP的斜率k=， OP的斜率k=， ∴﹣3． 故答案为：[﹣3，]． 12. 等比数列中，，则的前项和为___________. 参考答案： 120 略 13. 若实数满足不等式组则的最小值是__________． 参考答案： 4 做出不等式对应的可行域，由得，作直线，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，最小为。如图 14. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与古希腊的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的a=_____. 参考答案： 3 【分析】 解法一：按照程序框图运行程序，直到时，输出结果即可；解法二：根据程序框图的功能可直接求解与的最大公约数. 【详解】解法一：按照程序框图运行程序，输入：， 则，，，不满足，循环； 则，，，不满足，循环； 则，，，不满足，循环； 则，，，满足，输出 解法二：程序框图的功能为“辗转相除法”求解两个正整数的最大公约数 因为与的最大公约数为    本题正确结果： 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、程序框图的功能问题，属于基础题. 15. 已知△ABC中，，，，则该三角形的面积是________. 参考答案： 【分析】 先利用余弦定理求出a的值，再利用三角形的面积公式求面积得解. 【详解】由题得 所以三角形的面积为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16. 2（lg）2+lg·lg5+－÷=          ． 参考答案： 0 17. 设向量满足且的方向相反，则的坐标为         参考答案： （-4，-2） 本题考查向量模的运算，难度中等。设，则，共线，所以有y=2x,解得x=-4,y=-2,所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共14分）     如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2． （Ⅰ）求证： 平面； （Ⅱ）求证： 平面； （Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．   参考答案： （Ⅰ）证明：                              …………………………4分 （Ⅱ）证明： 在△中， .又. 由 .     …………………………9分 （Ⅲ）设则 由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．            ………………12分 当时, 的最小值是．                        即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分 19. （13分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，且sinC=2sinA，求最小边长． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）把题设中的等式整理得即ac+c2=b2﹣a2，进而代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B． （Ⅱ）根据B为钝角可推断出b为最长边，根据sinC=2sinA，利用正弦定理可知c=2a，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a． 【解答】解：（Ⅰ）由， 整理得（a+c）c=（b﹣a）（a+b）， 即ac+c2=b2﹣a2， ∴， ∵0＜B＜π，∴． （Ⅱ）∵，∴最长边为b， ∵sinC=2sinA，∴c=2a， ∴a为最小边，由余弦定理得，解得a2=1， ∴a=1，即最小边长为1 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆． 　 20. 在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为． （1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程； （2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|?|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程． 参考答案： （1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x； 由直线l1与曲线C相交可得： 故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧） 21. 已知两个集合，；命题P：实数m为小于6的正整数，命题q：A是B成立的必要不充分条件，若命题是真命题，求实数m的值. 参考答案： 命题是真命题，命题p和q都是真命题  命题p是真命题，即   ? A=  B={}={} 命题q是真命题， A， 则  ? 由??得m=1. 22. （12分） 已知函数。 （1）若函数的导函数是奇函数，求的值； （2）求函数的单调区间。 参考答案： 解析：（本小题考查导数的意义，两个函数的和、差、积、商的导数，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 （1）解：由已知得 ∵ 函数的导函数是奇函数 ∴    解得（5分） （2）由 ① 当时，恒成立 ∴ 当时，函数在R上单调递减 ② 当时，解得 即 ∴ 当时，在内单调递增，在内单调递减（12分）