2023年山西省长治市册村镇漫水中学高三数学理期末试卷含解析

2023年山西省长治市册村镇漫水中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数满足，则复数 A. B. C. D. . 参考答案： 【答案解析】C  由得z==故选C。 2. 已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(     ) A．1﹣ B． C．1﹣ D． 参考答案： A 考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率． 解答： 解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2， O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣． 故选：A． 点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD是关键． 3. 已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（　　） A．若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β B．若m∥β，n∥β，m、n?α，则α∥β C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】在A中，α与β不一定垂直；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，α与β相交或平行． 【解答】解：由m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，知： 在A中：若α∩β=m，n?α，n⊥m，则α与β不一定垂直，故A错误； 在B中：若m∥β，n∥β，m、n?α，则α与β相交或平行，故B错误； 在C中：若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确； 在D中：若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故D错误． 故选：C． 4. 在ΔABC中，角所对的边分别为，满足：则等于（    ） （Ａ）　 　 　 （Ｂ）　　     　（Ｃ）　　  　 　（Ｄ） 参考答案： C 略 5. 四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 （A）           （B）          （C）            （D） 参考答案： B 6. 已知集合，．若，则实数的值是(  ) A．       B．        C．或          D．或或 参考答案： C 7. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）。 A．4                       B．   C．                   D． 参考答案： B 8. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（　　） 　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件       参考答案： B 略 9. 已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是(     ) A．（1，3） B．（1，2] C．[2，3） D．（2，3） 参考答案： C 【考点】函数单调性的性质． 【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用． 【分析】若函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则，解得a的取值范围． 【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数， ∴， 解得：a∈[2，3）， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键． 10. 函数的图像为，如下结论中错误的是（    ） A．图像关于直线对称 B．图像关于点对称 C．函数在区间内是增函数     D．由得图像向右平移个单位长度可以得到图像 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若中，已知，当时，的面积是_____________. 参考答案： 【知识点】向量的数量积运算；三角形面积公式  F3  C8 【答案解析】  解析：在中 ， 故答案为： 【思路点拨】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得,再根据三角形面积公式计算结果。 12. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为           ． 参考答案： 13. （09南通期末调研）根据下面一组等式： ………… 可得       ▲       ． 参考答案： ．答案： 14. 若函数是奇函数，那么实数__________________. 参考答案：    1 15. 数列的前项和为，且，用表示不超过的最大整数， 如，设，则数列的前2n项和为         参考答案： 16. 将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_____________种（用数字作答）． 参考答案： 90 略 17. 已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为         。   参考答案：    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）求点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值． （2）求曲线关于直线y=1对称的曲线的参数方程． 参考答案： 考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题：直线与圆． 分析：（1）点M（2，）化为直角坐标M即M．直线ρ=即，化为直角坐标方程=0．则点M到直线上的点A的距离的最小值为点M到直线的距离． （2）设曲线关于直线y=1对称的曲线上的点为P（x，y），则点P关于直线y=1的对称点P′（x，2﹣y），此点在曲线C上，可得，即可． 解答： 解：（1）点M（2，）化为直角坐标M即M． 直线ρ=即，化为直角坐标方程=0． 则点M到直线上的点A的距离的最小值为d==． ∴点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值是． （2）设曲线关于直线y=1对称的曲线上的点为P（x，y）， 则点P关于直线y=1的对称点P′（x，2﹣y），此点在曲线C上， ∴，化为即为所求曲线C关于直线y=1对称的曲线的参数方程． 点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、曲线关于直线的对称曲线、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 19. 已知椭圆x 2 + (m + 3) y 2 = m (m > 0)的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。 参考答案： 解析：椭圆的方程可化为，                       …………2分 ∵m>0, ∴m – >0，∴m>，               …………4分 即a 2 = m, b 2 =,∴c=                …………6分 由e=得=，解得m=1，所以椭圆方程为x 2 + 4 y 2 = 1;…………10分 所以a=1, b =, c=, 则椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为（±，0），顶点坐标为（±1，0）、（0，±）                               …………16分 20. （本小题满分15分） 已知二次函数，其导函数的图象如图， （1）求函数处的切线斜率； （2）若函数上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若的图像总在函数图象的上方，求的取值范围． 参考答案：   的单调递增区间为（0， 1）和 的单调递减区间为（1，3）     …………6分 要使函数在区间上是单调函数，则， 解得……………………………………………8分    （3）由题意，恒成立， 得恒成立， 即恒成立， 设…………10分 因为 当 的最小值为的较小者．…………12分          …………14分 又已知, ．                    …………15分 21. 矩阵与变换 如图，单位正方形区域在二阶矩阵的作用下变成平行四边形区域． （Ⅰ）求矩阵； （Ⅱ）求，并判断是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩   阵． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，得， ；………………3分   （Ⅱ）， ，存在逆矩阵， 的逆矩阵为．                          ……………7分   略 22. 已知函数，满足，且当时，在取得最大值为. （1）求函数在的单调递增区间； （2）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 参考答案： （1），；（2）. 解：（1）易得，整体法求出单调递增区间为，； （2）易得，则由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以.