2022-2023学年河北省保定市涞源县第二中学高二数学文期末试题含解析

2022-2023学年河北省保定市涞源县第二中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A是抛物线上一点，若·=，则点A的坐标是                       （     ） A．     B．      C．     D． 参考答案： B 略 2. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是 （    ） A．    B．    C．   D． 参考答案： A 略 3. 两个正数1、9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率为                                   （    ） A． B．    C．        D．与 参考答案： D 略 4. 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3 参考答案： A 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件； 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件； 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件； 故选：A 5. 等差数列中，已知，试求n的值         参考答案： 50 略 6. 已知正实数满足，则的最小值是 A．        B．        C．7        D．6 参考答案： B 7. 圆x2+y2﹣2x+6y+8=0的周长等于(     ) A．π B．2π C．2π D．4π 参考答案： C 【考点】圆的一般方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】将圆的一般式方程化成标准方程，得（x﹣1）2+（y+3）2=2，由此可得圆的半径r=，再由圆的周长公式即可求出该圆的周长． 【解答】解：∵圆的一般方程为x2+y2﹣2x+6y+8=0， ∴将圆化成标准方程，得（x﹣1）2+（y+3）2=2 由此可得圆的圆心为C（1，﹣3），半径r= 因此该圆的周长为2πr= 故选：C 【点评】本题给出圆的一般式方程，求圆的周长．着重考查了圆的方程和圆周长公式等知识，属于基础题． 8. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（      ） (A)   　 (B)               (C)   　 (D) 参考答案： D 9. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，则下列命题中的假命题是（    ） A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o； B. 四边形AECF是正方形； C. 点A到平面BCE的距离为； D. 该八面体的顶点在同一个球面上. 参考答案： C ：因为八面体的各条棱长均为1, 四边形ABCD 为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是,而象AE与CE所成的角为,A正确；四边形AECF各边长均为1，，所以四边形AECF是正方形；，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h,由，所以，解得，故C错误； 10. 在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（   ） A．1:2:3        B．3:2:1        C．1::2     D．2::1 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为　　． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上，椭圆的离心率e====，解得：m2=3，它的长半轴长2a=4． 【解答】解：由题意可知：m2+1＞1，则椭圆的焦点在x轴上， 即a2=m2+1，b=1，则c=m2+1﹣1=m2， 由椭圆的离心率e====，解得：m2=3， 则a=2， 它的长半轴长2a=4， 故答案为：4． 12. 曲线在处的切线的斜率            参考答案： 2 13. 复数z满足（z+2i）i=3﹣i，则|z|=　   　． 参考答案： 【考点】A8：复数求模． 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵（z+2i）i=3﹣i， ∴z+2i=， 则z=﹣1﹣5i， ∴|z|=． 故答案为：． 14. 有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（   ） A. 78 B. 102 C. 114 D. 120 参考答案： C 分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论. 详解：根据题意，分四种情况讨论： ①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4； 此时有种顺序，可以排出24个四位数. ②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2， 若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中， 有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数 同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字； ③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数； ④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片， 有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1， 可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C. 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 15. 空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2），若A，B，C三点共线，则p=　　． 参考答案： 2 【考点】JH：空间中的点的坐标． 【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4），再由A，B，C三点共线，得∥，由此能求出p． 【解答】解：∵空间三点的坐标为A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（3，3，p+2）， ∴=（1，﹣1，3），=（2，﹣2，p+4）， ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴， 解得p=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16. 在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是_______． 参考答案： 17. 点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为　　． 参考答案： （﹣1，﹣1） 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论． 【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由， 解得a=﹣1，b=﹣1， 故答案为（﹣1，﹣1）． 【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，过且与垂直的直线交双曲线的左、右两支分别于D、B两点．    （1）求的取值范围；    （2）设点P是直线、的交点为，求证：＞；    （3）求四边形ABCD面积的最小值． 参考答案： 解析：（1）由条件知，、的方程分别为、． 由，得． 由于交双曲线的左、右两支分别于A、C两点， 所以＜0，解得＜3． 由，得． 由于交双曲线的左、右两支分别于D、B两点， 所以＜0，解得＞． 因此，＜＜3，的取值范围是． （2）由条件知，，点P在以为直径的圆上． 所以． 因此＞＝． （3）由（1）知，． ． ∴四边形ABCD的面积． 由于＝．当且仅当 ，即时，等号成立． 所以，四边形ABCD面积的最小值为18． 19. 在二项式的展开式中 （I）求展开式中含项的系数； （II）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值. 参考答案： 解：（I）展开式第项：       ………………3分 令，解得，                  …………………………………………… 4分 ∴展开式中含项的系数为    …………………………………………… 6分 （II）∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数 ∴                            …………………………………………… 9分 故或     解得或           ……………… 12分 略 20. （本小题12分）已知 分别是椭圆的左、右焦点，，离心率 ，过椭圆右焦点的直线  与椭圆交于 两点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线 的倾斜角为，求线段中点的坐标． 参考答案： 解：（1），，得，，  椭圆的标准方程为 …… 4分 （2）由题意直线：，设，，线段的中点为. 由  得，…… 8分      …… 10分 故线段的中点为…………12分 略 21. 设：函数在区间（4，+∞）上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值范围。 参考答案： 在区间（4，+∞）上递增，     在（4，+∞）上递增，故 …………（3分）     由             …………（6分）     如果“”为真命题，则为假命题，即          …………（8分）     又因为为真，则为真，即     由可得实数的取值范围是  … 22. 圆与圆相交于A、B两点 （1）求直线AB的方程 （2）求以AB为直径的圆的方程 参考答案： （1）两圆与联立 得直线AB的方程为3x-4y-1=0                      (2)法一：两圆圆心的连线的直线方程为4x+3y+2=0             将4x+3y+2=0与直线AB的方程为3x-4y-1=0联立 交点（，）即为所求圆的圆心                          圆的圆心（1，-2）到直线AB的距离为2              弦长AB为2，所求圆的半径为1             所求圆的方