2022-2023学年广西壮族自治区桂林市首都师范大学附属实中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市首都师范大学附属实中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= A．58         　 B．88           C．143         　　D．176 参考答案： B 略 2. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　） A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论． 【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=， 联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0， ∴x1+x2=p，x1x2=， ∴|x1﹣x2|==p， 又|AB|==8求得p=3， ∴抛物线的方程为y2=6x． 故选D． 【点评】本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径． 3. 直线与曲线相切于点则的值为（    ） A．3            B．            C．5            D．   参考答案： A 略 4. 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A等于 A．{1,3}　　　　B．{3,7,9}          C．{3,5,9}         D．{3,9} 参考答案： D 5. 下列求导数运算正确的是（　　） A．（x+）′=1+ B．（log2x）′= C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答． 【解答】解：A、（x+）′=1﹣，故错误； B、符合对数函数的求导公式，故正确； C、（3x）′=3xln3，故错误； D、（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误． 故选B． 【点评】本题考查了常见函数的求导公式和导数的运算法则，要求熟练掌握． 6. 若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0 (b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为   (　　)． A．－3  B．－3  C．3  D．3 参考答案： D 7. 下列四个类比中，正确得个数为（　　） （1）若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数，将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数． （2）若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2．将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为． （3）若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为．将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1． （4）在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，将此结论类比到空间中的结论为：在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】根据类比推理的一般步骤是：①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），判断命题是否正确． 【解答】解：对于（1），若一个偶函数在R上可导，则该函数的导函数为奇函数， 将此结论类比到奇函数的结论为：若一个奇函数在R上可导，则该函数的导函数为偶函数，命题正确； 对于（2），若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2； 将此结论类比到椭圆的结论为：若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为，命题正确； 对于（3），若一个等差数列的前3项和为1，则该数列的第2项为； 将此结论类比到等比数列的结论为：若一个等比数列的前3项积为1，则该数列的第2项为1，命题正确； 对于（4），在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4， 将此结论类比到空间中的结论为： 在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比为1：8，命题正确． 综上，正确的命题有4个． 故选：D． 8. 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有 不同的乘船方法为 (     ) A  36种         B 33种          C  27种         D  21种 参考答案： C 9. 下列函数中，为偶函数的是(     ) A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）= D．f（x）=x2 参考答案： D 考点：函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 解答： 解：f（x）=x，f（x）=sinx，f（x）=为奇函数， f（x）=x2为偶函数， 故选：D 点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 10. 算法的三种逻辑结构是（    ） A．顺序结构；流程结构；循环结构      B．顺序结构；条件结构；嵌套结构 C．顺序结构；条件结构；循环结构      D．流程结构；条件结构；循环结构 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在空间直角坐标系中，设A（m，2，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=，则m=　　． 参考答案： 1 【考点】空间两点间的距离公式． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；空间向量及应用． 【分析】直接由空间中的两点间的距离公式列式求解． 【解答】解：∵A（m，2，3），B（1，﹣1，1）， ∴， 解得：m=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，是基础的计算题． 12. 祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为，半圆与x轴正半轴交于点A，作直线，交于点P，连接OP（O为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y轴旋转所得半球的体积与绕y轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆绕y轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 参考答案： 【分析】 根据题意，作出立体图像，得到半椭圆绕轴旋转一周形成的几何体，然后直接求体积即可 【详解】 如图，这是椭圆绕轴旋转一周形成的几何体，所以 半椭圆绕轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为，短半轴为，现构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是； 答案： 【点睛】本题考查圆柱与圆锥的体积问题，结合立体几何的图像求解即可，属于中档题 13. 若复数为实数，则实数___▲_____； 参考答案： 略 14. 已知样本7，5，x，3，4的平均数是5，则此样本的方差为　 　． 参考答案： 2 【考点】极差、方差与标准差． 【专题】概率与统计． 【分析】运用平均数的公式：解出x的值，再代入方差的公式中计算得出方差． 【解答】解：∵样本7，5，x，3，4的平均数是5， ∴7+5+x+3+4=5×5=25； 解得x=6， 方差s2= [（7﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2]=（4+1+4+1）=． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．要求熟练掌握平均数和方差的计算公式，比较基础． 15. 我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线. 如图是双曲线的图象, 给出以下几个说法: ①双曲线是黄金双曲线; ②若, 则该双曲线是黄金双曲线; ③若为左右焦点, 为左右顶点, (0, ), (0, ﹣)且, 则该双曲线是黄金双曲线; ④若经过右焦点且, , 则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为　　　　　　　　　. 参考答案： ①②③④ 16. 若椭圆+=1（a＞b＞0）的中心，右焦点，右顶点及右准线与x轴的交点依次为O，F，G，H，则||的最大值为　　． 参考答案： 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|FG|=a﹣c，|OH|=，所以||==（﹣）2+，根据∈（0，1），可求出结论． 解答： 解：∵椭圆方程为+=1（a＞b＞0）， ∴椭圆的右焦点是F（c，0），右顶点是G（a，0），右准线方程为x=，其中c2=a2﹣b2． 由此可得H（，0），|FG|=a﹣c，|OH|=， ∴||==（﹣）2+， ∵∈（0，1）， ∴当且仅当=时，||的最大值为． 故答案为． 点评： 本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题． 17. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是　　． 参考答案： 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】转化思想；综合法；立体几何． 【分析】根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，求得圆锥底面的半径，可得圆锥的高，从而求得此圆锥的体积． 【解答】解：设圆锥底面的半径为r，由题意可得圆锥的母线长为6， 再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=2π6， 求得r=3， 故圆锥的高为h==3， 故此圆锥的体积是πr2h=π93=9π， 故答案为：9π． 【点评】本题主要考查旋转体的侧面展开图问题，注意利用圆锥底面的周长等于半圆的弧长，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且． （1）求证：； （2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，，求三棱锥的体积． 参考答案： （1）见解析； （2）. 【分析】 (1)由面面垂直的性质定理可得，，在半圆中，为直径，所以，即，由此平面，故有． (2)由等腰梯形可知，，由等体积法． 【详解】(1)证明：因为矩形平面，平面且，所以平面，从而，① 又因为在半圆中，为直径，所以，即，② 由①②知平面，故有． (2)因为，所以平面．又因为平面平面， 所以，在等腰梯形中，，，， 所以， ． 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，和等体积法处理三棱锥的体积问题。 19. （本小题满分10分） 已知： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明． 参考答案： 略 20. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）． （）请写出一