2022年广东省阳江市中考数学总复习：二次函数

2022年广东省阳江市中考数学总复习：二次函数1.如图，抛物线y=a?+法+2交x轴于点A (-3,0)和点B (1,0),交y轴于点C.已知点。的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接A P、PC、CD.(1)求这个抛物线的表达式.(2)当四边形A QC P面积等于4时，求点P的坐标.(3)点M在平面内，当 C O M是 以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当/MN C=4 5 时，直接写出满足条件的所有点N的坐标.备用图【解答】解：(1).抛物线=0?+汝+2交x轴于点A (-3,0)和点8(1,0),，抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(/+2 x-3)aC+lax-3a,即-3。=2,解得：a=-故抛物线的表达式为：-|?-|x+2；(2)连接 O P,设点尸(x,-|?-1 x+2),第1页 共8页1 1 1,*S=S 四 边 形A Q C P USA A P O+S/C P O _ SODC=a xAOXyp+a xOCX xp-2 xCOXO)=4,1?o 4 1 1二 x3 义(-Q.V*Q,.V+2)+亍 x2X(-x)x 1 X 2=4,2 3 3 2 2 X1 =-1 j X2 一 2,8-:点 尸(-1,-)或(-2,2)；3(3)如 图 2,若点M 在 CO左侧，连接AM,V ZMDC=90,:.NMDA+NCDO=90，且/CQO+NCO=90,：.Z M D A=Z D C O,且 A)=CO=2,MD=CD,：./M A D D O C (SAS)：.AM=DO,/M4=/OC=90,.点 M 坐 标(-3,1),若点M 在 CO右侧，同理可求点M,(,-1)；如 图 3,抛物线的表达式为：y=-|?-1 x+2=-|(x+1)2+1；，对称轴为：直线x=7,.点。在对称轴上,第2页 共8页：M D=C D=M D,N M D C=N M D C=9 0 ,.点。是M M的中点，V Z M C D=Z A f C D=4 5 ,A Z MC M=9 0 ,点例，点C,点 在 以M”为直径的圆上，当点N在以M M为直径的圆上时，ZMNC=ZM,MC=45 ,符合题意，.点 C(0,2),点。(-1,0)：.DC=V 5,：.DN=DN=y5,且点N在抛物线对称轴上，.点 N (-1,V 5),点 N(-1,-V 5)延长M C交对称轴与N,.,点 A f (1,-1),点 C (0,2),，直线M C解析式为：y=-3 x+2,.当 x=-1 时，y=5,.点M的 坐 标(-1,5),.,点 M的 坐 标(-1,5),点 M (1,-1),点 C (0,2),.MC=V TU=MC,且N MC M=9 0,：.A M M C=Z W C=4 5.点M (-1,5)符合题意，综上所述：点N的坐标为：(-1,V 5)或(-1,-V 5)或(-1,5).2.如图，抛物线y=-f+b x+c与x轴相交于A,B两 点(点A位于点8的左侧)，与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点，直线x=l是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段M B上一个动点，过 点 尸 作 轴 于 点。.若 PD=nt,的面积为S.求S与机之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；当S取得最值时，求点尸的坐标.(3)在(2)的条件下，在线段M B上是否存在点尸，使 为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.第3页 共8页【解答】解：(1).直线x=l是抛物线的对称轴，且 点 C 的坐标为(0,3),，c=3,-2 x(1)=1：.b=2,二抛物线的解析式为：y=-?+2J C+3；(2)：产-，+2x+3=-(x-1)2+4,.点 M(1,4),；抛物线的解析式为：y=-/+2 x+3 与 x 轴相交于A,8 两 点(点 A 位于点B 的左侧),.*.0=-J?+2X+3 .Xi=3,X2=-1，.点 A(-1,0),点、B(3,0),:点 M(1,4),点 B(3,0)直线B M解析式为y=-2x+6,点 户 在 直 线 上，且轴于点。，PD=m,:,点、P(3卞，机)，:.S/、PCD=；xP DXO D 拼 X(3当)=热?+,点P 在线段3M 上，且点M(l,4),点 3(3,0),0根W4:S与m之间的函数关系式为S=%?2+为(0VW4)4 L(2),S=2f n=-彳(/n-3)9 .当机=3 时，S有最大值为二，43工 点、P(-,3)2第4页 共8页；0机W 4时，S 没有最小值，9 3综上所述：当加=3 时，S 有最大值为一，此时点P(;,3)；(3)存在,若 PC=PZ)=？时，,;P D=m,点 P(3 号,?)，点 C(0,3),(3-y-0)2+5-3)2=后.如=18+6夕(舍去)，m2=18-6V7,.,.点 P(-6+3 夕,18-6V7)；若。时，Z.(3-j-0)2+(-3)2=m2,.3=-2-2V7(舍去)，?4=-2+2V7,.点 P(4-夕，-2+2V7)；若 0 c=PC时，二(3-J-0)2+(772-3)2=(3-y-0)2+(-3)2,/.,715=0(舍去)，7 7 1 6 =6(舍去)综上所述：当点尸的坐标为：(-6+3V7,18-6V 7)或(4-巾,-2+2V 7)时，使尸C。为等腰三角形.3.根据下列条件求函数的表达式：(1)已知变量x,y,f 满足：yt2-2,x3-t.求 y 关于x 的函数表达式；(2)已知二次函数 yax+bx+c,当 x=l 时，y=2：当 x-2 时，y-7；当 x-1时，y=0.求这个二次函数的表达式.【解答】解：(1).y=t2-2,x=3-t,(3-力 2=？-6f+9,故 y+Gt-11 x2-6(3-f)+7=x2-6x+7；(2)把 x=l,y=2；x=-2,y=-7；x=-,y=0 分别代入原式得：第5页 共8页a +b +c =24Q 2 b +c =-7a b +c =0a=-2解得：6 =1 ,c=3故这个二次函数的表达式为：y=-2?+x+3.4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+b x+c的图象与直线A 8交于4、8两点，q.A (1,一 0)、8(-2,0),其中点A是抛物线y=a?+6 x+c的顶点，交)，轴于点/).(1)求二次函数解析式；(2)如 图1,点P是第四象限抛物线上一动点，若N P B A=N B A D,抛物线交x轴于点C.求B P C的面积；(3)如图2,点。是抛物线第三象限上一点(不与点B、。重合)，连接B Q,以 B Q 为边作正方形B E F Q,当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的909 a 2/.a=亍.抛 物 线 解 析 式 为:(x-1)2-1 =1?-x-4；(2).、=3 2-4与工轴交于8,C,交y轴与点Q,当=0,y=-4,即点。(0,-4),当 y=0 时，0=-%-%xi -2,*2=4,.点 C(4,0),第6页 共8页Q 点A(1,一，点。(0,-4)，直 线 A Q解析式为：y=-4,：/P B A=/B A D,:.BP/AD,设直线6尸解析式为：尸一方+加，且过点以0=i x(-2)+加=-1,直线BP解析式为：y=-%-1,(1 1y=-77X 1联立方程组可得:.点 P(3,-|)1 5 15S&BPC=2 x 2 x6=-2(3)如图，过点Q 作 QGLB C于 G,过点F 作 F/L G Q 于”，设对称轴与B C交于N点，图2.四边形BEFQ是正方形，：.BE=EF=BQ=QF,NEBQ=NBQF=90,：ZBQG+ZFQH=90,NBQG+NQ8G=90 ,:./G B Q=/F Q H,且N 尸 H Q=/B G Q=90 ,BQ=QF,:A B G Q Q丛QFH(A4S)第7页 共8页:,BG=QH,F H=Q G,1设点 Q(?,-/n2-m -4)若点F 在对称轴上，:F H=G Q,I 1 2 4.1-m=2fn+?+4，：.m=2+10(舍去)，%=2 一 国，.点。坐 标(2-VIU,l VTU),若点E 在对称轴上，同理可证：工B G Q 安丛ENB,：.BN=GQ,1)/.1 -(-2)=,/+切+4,*m 14-3(舍去)，i T i 1y/Sf 点。坐 标(1-71-3),综上所述：点 Q 坐 标 为(1 一 8，-3)或(2 V1U,1 JIU).第8页 共8页