2022-2023学年广东省肇庆市四会黄田中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省肇庆市四会黄田中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（    ） A．1                        B．                            C．2                            D． 参考答案： C 2. 曲线y= 在 x=1处的切线的倾斜角为  A.        B.        C.          D． 参考答案： B 略 3. 设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【   】. A.                 B.                C.               D. 参考答案： B 易知=2c，所以由双曲线的定义知：，因为到直线的距离等于双曲线的实轴长,所以，即，两边同除以，得。 4. 复数的值是 A.            B.          C.          D. 参考答案： B 略 5. 设z = 1 – i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是 A．1               B．－1              C．i               D．－i 参考答案： A 6. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为（  ） A．               B．          C．              D． 参考答案： C 7. 已知，那么等于 A．－3 B． C． D．3 参考答案： D 8. 已知实数,满足条件 则的最大值为(     ) A. 0                 B.                 C.             D. 1 参考答案： B 9. 某企业生产A、B、C三种家电，经市场调查决定调整生产方案，计划本季度（按不超过480个工时计算）生产A、B、C三种家电共120台，其中A家电至少生产20台，已知生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，则按此方案生产，此季度最高产值为（　　）千元． A．3600 B．350 C．4800 D．480 参考答案： A 【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划． 【分析】设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元， 家电名称 A B C 工　　时 3 4 6 产值（千元） 20 30 40 则依题意得z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10y， 由题意得x，y满足， 即， 画出可行域如图所示． 解方程组，得，即a（80，0）． 做出直线l0：2x+y=0， 平移l0过点A（80，0）时，目标函数有最大值，zmax=4800﹣20×80﹣10×0=3600（千元）． 答：本季度生产A：80台，B：0台，C：40台，才能使产值最高，最高产值是3600千元． 故选：A． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10. 在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有， 则 （   ） A.           B.         C.       D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数（e是自然对数的底）.若函数的最小值是4，则实数a的取值范围为          ． 参考答案： 当时， （当且仅当时取等号），当时， ，因此   12. 函数的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则       . 参考答案： 函数的部分图象如图所示， 则，解得，所以，即， 当时，，解得， 所以， 所以函数向右平移个单位后得到函数的通项， 即， 若函数在区间上的值域为，则，所以．   13. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则          ． 参考答案： 14. 设函数的反函数为，则函数的图象与轴的交点坐标是          ． 参考答案： 15. 己知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1﹣1，则an=　　． 参考答案： 【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式． 【分析】当n=1时，可求a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，验证n=1时是否符合，符合则合并，否则分开写． 【解答】解：∵Sn=2n+1﹣1， 当n=1时，a1=S1=3， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n， 显然，n=1时a1=3≠2，不符合n≥2的关系式． ∴an=． 故答案为：． 16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出     人。 参考答案： 25 17. 已知集合，，则          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2． （1）求证：AB⊥BC； （2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，请说明理由． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）连接AB1交AB1于点D，则可通过证明BC⊥平面ABB1A1得出得出BC⊥AB； （2）以B为原点建立坐标系，设=λ，求出平面ABE的法向量，令|cos＜，＞|=，根据解的情况判断E点是否存在． 【解答】（1）证明：连接AB1交AB1于点D， ∵AA1=AB，∴AD⊥A1B 又平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B， ∴AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC， ∴AD⊥BC． ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BC． 又AA1∩AD=A，AA1?平面A1ABB1，AD?平面A1ABB1， ∴BC⊥平面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1， ∴AB⊥BC． （2）由（1）得AD⊥平面A1BC， ∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角， 即，又AD==，∴，BC==2． 假设在线段A1C上是否存在一点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为 以点B为原点，以BC、BA，AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示， 则A（0，2，0），B（0，0，0），A1（0，2，2），C（2，0，0），B1（0，0，2）． ∴=（0，﹣2，0），=（2，﹣2，﹣2），=（0，﹣2，2），=（0，0，2）． 假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，且=λ=（2λ，﹣2λ，﹣2λ）， ∴=+=（2λ，﹣2λ，2﹣2λ）， 设平面EAB的法向量为，则，， ∴，令x=1得=（1，0，）， 由（1）知AB1⊥平面A1BC，∴=（0，﹣2，2）为平面CEB的一个法向量． ∴cos＜，＞==， ∴||=|cos|=，解得 ∴点E为线段A1C中点时，二面角A﹣BE﹣C的大小为． 19. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3－2，Tn=2 bn－2． （1）求公差d的值； （2）若对任意的n∈N*，都有Sn≥S5成立，求a1的取值范围； （3）若a1=1，令Cn=anbn，求数列{cn}的前n项和． 参考答案： (1)解：设等比数列{bn}的公比为q，由S4 = 4a3﹣2，得： ． (2)解：由公差d = 1 > 0知数列{an}是递增数列 由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值 ∴ 即，解得：－5≤a1≤－4 ∴a1的取值范围是[－5，－4]． 另解：由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值 当时，Sn有最小值 又Sn的最小值是S5，∴ 故－5≤a1≤－4 ∴a1的取值范围是[－5，－4]． (3)解：a1 =1时，an = 1 + (n﹣1) = n 当n = 1时，b1 = T1 = 2b1﹣2，解得b1 = 2 当n≥2时，bn = Tn﹣Tn﹣1 = 2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) = 2bn﹣2bn﹣1，化为bn = 2bn﹣1． ∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ∴ 记数列{cn}的前n项和为Vn，则 ∴ 两式相减得：                 ∴． 略 20. 如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=6． （Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC； （Ⅱ）求三棱锥M﹣ABN的体积． 参考答案： 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由ABCD是菱形，可得AD=DC，OD⊥AC，求解三角形可得OD=6，结合M是BC的中点，求出OM、MD，可得OD2+OM2=MD2，得DO⊥OM，由线面垂直的判定可得OD⊥面ABC； （Ⅱ）取线段AO的中点E，连接NE．可得NE∥DO．由（Ⅰ）得OD⊥面ABC，可得NE⊥面ABC，求出△ABM的面积，然后利用等积法求得三棱锥M﹣ABN的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC， 在△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6， 又M是BC的中点，∴， ∵OD2+OM2=MD2，则DO⊥OM， ∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O， ∴OD⊥面ABC； （Ⅱ）解：取线段AO的中点E，连接NE． ∵N是棱AD的中点，∴NE=且NE∥DO． 由（Ⅰ）得OD⊥面ABC，∴NE⊥面ABC， 在△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°， ∴=． ∴． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 21. 已知函数. (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若 对 恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案： 22. 已知数列{an}为等差数列，a7－a2＝10，a1，a6，a21依次成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，数列{an}的前n项和为Sn，若，求n的值． 参考答案： （1）设数列{an}的公差为