高考数学精讲第一节　导数的概念及运算

厚导数及其应用第一节导数的概念及运算课标要求|1.理解导数的概念及意义.2.掌握导数的运算.一 基础知识”掌握牢抓“四 基 夯 实 基 础 点1.函数y=_/(x)在 x=xo处的导数定义称函数)一人幻在XX0处 的 瞬 时 变 化 率 捏 忌 一 蚂，一 一 为函数y ZU)在 x=xo处的导数记法记作，(xo)或i，即/(xo)-蚂 /一 蚂 r 空 几何意义是 曲 线 v=f(x)在点(X o,体切)处的切线的斜率,相 应 的 切 线 方 程 为 I，一 0)=f(xo)(x-Xo)2.函数1 x)的导函数函数/(x)=g*弋 为/U)的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f (x)=01Ax)=x(aGQ*)f (x)=qya-lf(x)=sin xf (x)=cos_xf(x)=cos Xf (x)=sinx兀v)=e，/(x)=Qf(x)=ax(a9 a#l)f (x)=orln af(x)=nxf (x)=-/(x)=logx(a0,QW I)f (x)J xln a4.导数的运算法则(1)flx)g(xW=f(x)s(x)；(2)l/lr)g(x)，=(X)R(X)+/U)R(x)；(c3O|，=(x)(x)-R x)女(x),5.复合函数的导数复合函数y=/(g(x)的导数和函数y=_A)，=g(x)的导数间的关系为y j=y,/-ux,即y 对 x 的导数等于y对“的导数与”对工的导数的乘积.谨记结论谨防易错(1/(时)代表函数八x)在 x=x(处的导数值；(Axo)是函数值/Uo)的导数，且(/U。)=0.(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.。阖需(4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.(5)函数y=/U)的导数，(x)反映了函数/U)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其 大 小,(x)|反映了变化的快慢，夕(幻|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.(6)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.二、“基本技能”运用好L(好题分享-新人教A 版选择性必修第二册P75Tl改编)下列式子错误的是()A.(sin x)1=cosx B.(cos x)=sin x2C.(21nx)z=-D.(e*)=e 解析：选 B 根据题意，依次分析选项：对于A,(sinx)=c o s x,正确；对于B,(cos2x)=-sin x9 错误；对于 C,(21n x)z=p 正确；对于 D,(e-x)/=e-x,正确，故选B.2.已知曲线段)=ln x+亍在点(1,m)处的切线的倾斜角为拳 则 a 的值为()A.1B.-1C.2D.-4解析：选 B 函数x)=ln x+宁的导数/(*)=:+手，函数/(x)在 x=l 处的切线的倾斜角为子,23.曲线八%)=好一x 在点(一 1,八 1)处 的 切 线 方 程 为()A.2x+y+2=0 B.2 x+j-2=0C.2 x-j+2=0 D.2 x-j-2=0解析：选 C f(x)=x3x,则/(x)=3x21,(-1)=2,八-1)=0,因此，曲线y=/x)在点(一1,八1)处的切线方程为y=2(x+l),即 2 x-y+2=0.4.已知 Ax)=138 x+2/,，(x0)=4,则 M)=.解析：，(x)=-8+4 x,f1(xo)=-8+4 x o=4,解得 x0=3.答案：3三 基本思想”很重要1.(函数与方程)已知f 为实数，1Ax)=(*24)(x-f)且/(-1)=0,则 t 等于()A.0B.-1C.1 D.2解析：选 C依题意得，f (x)=2x(x。+(必一4)=3*2-2改一4,所以/(-l)=3+2 f4=0,即 T2.(数形结合)已知函数/(x)的图象如图所示，/(X)是大x)的导函数，则下列数值排序正确的是()一 片/A.0/(2)寸(3)53)/(2)；B.0勺，(3)勺(2)勺(3)犬2)i ；:；C.0f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3)解析：选 C 设r (3),A3)-A2),/(2)分别表示直线，叫/的斜率(作图略)，数形结合知0/(3)寸 3)犬2)勺1 (2),故选C.四 基本活动经验”不可少为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间f 的关系如图所示.(1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？(2)在接近fo时，哪个厂的污水排放量减少得更快?答案：乙 甲Na,强“四翼”一 研透命期点命题点一 导数的运算(自主练通)题组练透1.已知“r)=cos 2x+e2，则/(x)=()A.2sin Zx+Ze B.sin 2x+e2xC.2sin Zx+Ze D.sin 2x-1-e2x解析：选 A 由题意/7(x)=sin 2x 2+e 2=-2 sin 2x+2e2x,故选 A.2.在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下,浇筑用模最省.假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R(f).若圆柱的体积以均匀速度c 增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径()A.成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为c2C.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为d解析：选 C 设圆柱高度为心 由旷=$/?=兀k 九知 V=2nhR R (力，即如，求(t)=c,：.R)=心芯又圆柱的侧面积S 他=2双儿则其侧面积的增长速度S/=2兀/求(f)=2 加了3=1，.,.圆柱的侧面积的增长速度与圆LitnK A柱半径成反比，比例系数为c,故选C.3.(多选)已知函数/U)及其导数/(x),若存在刈，使得/U o)=/1(x o),则称xo是大幻的一个“巧值点”,下列四个函数中有“巧值点”的是()A.J(x)=x2 B.f(x)=exC.f(x)=n x D./(x)=tan x解析：选 AC 本题考查导数的运算.大幻=2,，(x)=2x,x2=2 x,解得x=0 或 x=2,有“巧值点”，故 A 正确；f(x)=ex,f (x)=-e-x,-无解，无“巧值点”，故B 错误；Jx)=nx,f (x)=p ln x=p 令 g(x)=lnx1,g(l)=1 0,由零点存在性定理可知g(x)在(1,e)上必有零点，故/U)有“巧值点”，故 C 正确；/(x)=tanx,()=日？扁 号=tan x,sin xcos*=1,即 sin 2 x=2,无解，所以/U)无“巧值点”，故 D 错 误.故 选 AC.24.(2020联州模拟)已知函数/U)=云 丽 布+x2(”9+sin x(xGR),则八2 019)+八2 019)+f (2 0 1 9)-/(一2 019)值为於s-g d，-2-2 019xln 2 019,niu,解析：由题意，f (x)=-Q 013+1)2+2 019x20I8+cosx,-2-2 019-xln 2 019.,nitt,一2 2 01%n 2 019.,f (一“)=(2 0 1 9-A+1)2+2 19(-x)2 018+c o s(-x)=画 历 甲 p +2 019x2018+c o sx=/(x),:f (x)是偶函数，/(x)r (一x)=0,2 2 2又兀。+八一 x)=55百 不 j+*2M 9+sinx+痂 产 不 j+(*)2i9+sin(-%)=王 雨 由 +2-2 019J _20197+1=2*：.f(2 019)+/(-2 019)+/(2 0 1 9)-/(-2 019)=2.答案：25.求下列函数的导数.(l)j=x2sin x；(2)j=ln x+p(3)J=;(4)j=xsi解：(l)jz=(3)sinx+x2(sinx)=2xsin x+x2cosx.(2”=(E x+9 =(加 沙+0 =”.(3.(Dcos x,=(1c os e)2co s x(ex)z=sin x-+cos x(4)V y=xsi n2x+cos2x+:=-sin 4 x-5 4cos 4x=sin 4x-2xcos 4x.一 点 就过1.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导的几种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数塞的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元3.对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于式x)=/(xo)g(x)+Mx)(xo为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确/(X。)是常数，其导数值为0.因此先求导数/(X),令x=x o,即可得到r (Xo)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值.备课札记.命题点二导数的几何意义及应用(多角探明)逐点例析导数的几何意义T 求 切 线 方 程 卜T 求 切 点 坐 标)(求参数值(范围)解 方 程(组):题点(一)求切线方程 例 1 (1)(2020全国卷I)曲线y=n x+x+1 的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.过原点与曲线=(*-相 切 的 切 线 方 程 为.解析(1)设切点坐标为(xo,lnxo+xo+1).由题意得y=+1,则该切线的斜率为+1=2,X%0解得X o=l,所以切点坐标为(1,2),所以该切线的方程为了一2=2(工一1),即 2x-y=0.(2)函数y=(x的导数为yf=3(xI)2,设过原点的切线的切点坐标为(xo,(xo 1户)，则切线的斜率为左=y|X F=3(X O1产，,切线过原点(0,0),A:=3(xo1)2=(x o-1)30 x o-0解得x o=l或 x o=-则切点坐标为(1,0)或(一；，一 金，对应的斜率k=0或k=1，对应的切线方程为j=o 或y+弟=今 +0，即 y=()或 27x-4y=0.答案(l)2 x-j=0 y=0 或 27x-4y=0I解题方略曲线y=/a)在点尸(劭，/U。)处的切线方程是(xo)(x-xo);求过某点M(xi，力)的切线方程时，需设出切点A(xo,人x o),则切线方程为y-/(xo)=，(xo)(x-xo),再把点M(xi,%)代入切线方程，求 xo.题点(二)求切点坐标 例 2(多选)曲线A x)=T x+3 在点尸处的切线平行于y=2xL则点尸的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)解析 因为，(x)=3x2 1,令/(x)=2,故 3/l=2=x=l 或一 1,所以 P(l,3)或(一1,3).经检验，点(1,3),(1,3)均不在直线y=2 x-l上，故选A、B.答案 AB 解题方略求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.题点(三)求参数值(范围)例 3 (1)(2021 如家模拟)已知函数於:)=/nsin x+力在工=点处的切线方程为尸与l*加+1,则实数b 的值为()4 1n 或A.T B.-VC.1D.由(2)(2020石家庄五校联考)已知曲线C：y=xe*过 点 A(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A.(8,4)U(0,+)B.(0,+00)C.(一8,-1)U(1,+oo)D.(一8,-1)解析(1)由题意，函数r)=/wsin x+)，则(x)=/ncosx,可得/e=/n co*=乎%即切线的斜率4=乎 ，所以乎”?=乎，解得2=1,所以xr)=sin x+b,当x=2 时，y=X 尹 害 兀+1=1,即切点P 0,1),代入函数式x)=sin x+b9可得sin+ft=l,解得(2)对函数 y=xex