医用高等数学课件3-导数与微分-(2012)

第三章导数与微分学习内容导数的概念导数的性质求导法则微分应用从切线（tangent line）说起问题：计算函数在点处的切线斜率。从切线（tangent line）说起从切线（tangent line）说起解决方案：以过点，及曲线上另一点的直线斜率逼近点处的切线斜率。从切线（tangent line）说起 函数在点处存在切线，当且仅当存在，且切线斜率为。例题：计算抛物线在点处的切线方程。1.先计算切线斜率（slope）2.由点斜式方程得 观察函数在点处的曲线 观察函数在点处的曲线 观察函数在点处的曲线一般情况下，若在处的曲线存在切线，设其斜率为，则有例题：计算在点处的切线方程。应用前面的公式，计算切线斜率例题：计算在点处的切线方程。速度（velocity）平均速度（averagevelocity）瞬时（instantaneous）速度函数表示时刻物体在数轴上的位置，则在时刻物体的瞬时速度满足导数（derivative）的定义导数（derivative）的定义 函数 在存在导数，是指下面的极限存在导数（derivative）的定义由前面的定义可知，导数是一个极限，还可记作导数（derivative）的定义导数的记法有多种，各有优点及应用场景。如下所示导数（derivative）的定义其中被称为微分算子微分算子(differentiation operators)应理解为，即微分算子作用在函数上。导数（derivative）的定义因此 函数在处的导数记作导数（derivative）的定义函数在处可导当且仅当存在。在区间或或或上可导，当且仅当其在区间的每个点都可导。例1.函数何时可导，并求其导数。分区间讨论1.当时，我们有例1.函数何时可导，并求其导数。2.当时，我们有分区间讨论例1.函数何时可导，并求其导数。3.当时，若有，则应满足例1.函数何时可导，并求其导数。分别计算在的左右极限，得到易见左右极限不相等，故在处不存在导数。在处不存在导数。定理1.函数在处可导，则在处连续（反之不然）。证明：所以：在处连续思考：函数何时不可导？分析：若函数在处不可导，即说明不成立。左右导数不相等不连续导数为无穷情形1.左右导数存在，但不相等。尖锐点情形2.函数在处不连续。间断点情形3.导数为求导法则1.常数函数求导法则2.幂函数幂函数的导数为求导法则2.幂函数例题：计算的导数。解：应用导数公式，有求导法则2.幂函数例题：计算的导数。解：应用导数公式，有求导法则3.指数函数导数公式：求导法则3.指数函数例题：计算的导数。解：求导法则4.对数函数例题：计算的导数。求导法则5.三角函数求导法则4.三角函数另一种记法：导数的四则运算法则前提：为可导函数。1.2.3.4.导数的四则运算法则证明：证：设导数的四则运算法则证明：由有导数的四则运算法则证明：其中：导数的四则运算法则证明：导数的四则运算法则证明：导数的四则运算法则例题：计算函数的导数。导数的四则运算法则例题：计算的导数。导数的四则运算法则例题：计算的导数。三角函数的导数公式导数的四则运算法则例题：计算的导数，在哪些点上。一天，有个年轻人来到鞋店里买了一双鞋子。这双鞋子的成本是15元，标价是21元。这个年轻人掏出50元买这双鞋。鞋店当时没有零钱，用那50元向街坊换了50元零钱，找给年轻人29元。但是街坊后来发现那50元是假的，鞋店无奈之下，还了街坊50元。问鞋店损失了多少钱？一道小题链锁法则（chainrule）链锁法则（chainrule）大致过程，非严格证明链锁法则（chainrule）这里的点象链条的一节，将2个导数相乘（连接起来）链锁法则（chainrule）例题：计算的导数 解：先将函数分解为基本初等函数的复合所以：链锁法则（chainrule）例题：计算和的导数 链锁法则（chainrule）例题：计算的导数 解：分解为：链锁法则（chainrule）例题：计算的导数 解：分解为：用链锁法则求反函数的导数例题：计算的导数。解：等价于，对后者等式两边求关于变量的导数。用链锁法则求反函数的导数例题：计算的导数。所以：用链锁法则求反函数的导数例题：计算的导数。解：等价于，对后者等式两边求关于变量的导数。用链锁法则求反函数的导数例题：计算的导数。所以：用链锁法则求反函数的导数链锁法则的应用对数对数求导法 多项相乘或相除复合根式的情况 例题：计算下面函数的导数。链锁法则的应用对原式两边取对数，得到对等式两边求关于的导数两边同乘以即得。链锁法则的应用隐函数的导数 例题：求方程中关于的导数。解：对等式两边求关于的导数，得到有例题：计算的导数 例题：计算的导数 高阶导数若的导函数仍是可导的，则有的二阶导数。记作：高阶导数三阶导数：四阶导数：阶导数：高阶导数的意义设，其中为时间，为距离，则1.表示 瞬时速度。2.表示 加速度。函数的各阶导数及其图像例1.一把长为10m的梯子，靠在垂直地面的墙边，梯脚向右滑动时梯顶始终靠在墙上，当梯脚据墙根8m时，其右滑速度为2m/s，问梯顶的下滑速度是多少？导数的应用例2.一个雷达站观测到一架飞机，正在1143m的高度向它飞来，雷达观测仰角为，角速度，求飞机的地面速度。导数的应用