专题21 双变量不含参不等式证明方法之换元法
【方法总结】
双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点,其困难之处是如何消元,构造合适的一元函数.
整体换元法:若两个变量存在确定的关系,可以利用其中一个变量替换另一个变量,直接消元,将两个变量转化为一个变量.若两个变量不存在确定的关系,有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体(比如,,,)等策略将两个变量划归为一个变量整体换元,化为一元不等式.
[例1] 已知函数f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.
(1)求实数a的值;
(2)求证:当n>m>0时,lnn-lnm>-.
解析 (1)因为f(x)=ax2+xln x,所以f′(x)=2ax+ln x+1,
因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f′(1)=3,即2a+1=3,故a=1.
(2)要证lnn-lnm>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.
令=x,构造函数g(x)=ln x-+x(x≥1),则g′(x)=++1.
因为x∈[1,+∞),所以g′(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.
由已知n>m>0,得>1,所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.
总结提升 对“待证不等式”等价变形为“ln-+>0”后,观察可知,对“”进行换元,变为“lnx-+x>0”,构造函数“g(x)=ln x-+x(x≥1)”来证明不等式,可简化证明过程中的运算.
[例2] 已知函数f(x)=lnx-,g(x)=xlnx-m(x2-1)(m∈R).
(1)若函数f(x),g(x)在区间(0,1)上均单调且单调性相反,求实数m的取值范围;
(2)若0<a<b,证明:<<.
解析 (1)f′(x)=-=>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增.
由已知f(x),g(x)在(0,1)上均单调且单调性相反,得g(x)在(0,1)上单调递减.
1
所以g′(x)=ln x+1-2mx≤0在(0,1)上恒成立,即2m≥,
令φ(x)=(x∈(0,1)),φ′(x)=>0,所以φ(x)在(0,1)上单调递增,φ(x)<φ(1)=1,
所以2m≥1,即m≥.
(2)由(1)f(x)=lnx-在(0,1)上单调递增,f(x)=ln x-<f(1)=0,即ln x<,
令x=∈(0,1)得ln<=,∵ln<0,∴<.
在(1)中,令m=,由g(x)在(0,1)上均单调递减得g(x)>g(1)=0,
所以xln x-(x2-1)>0,即ln x>,
取x=∈(0,1)得ln>,即ln a-ln b>,
由lna-lnb<0得:<,综上:<<.
总结提升 两个正数和的对数平均定义:
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:(此式记为对数平均不等式)
取等条件:当且仅当时,等号成立.
[例3] 已知,其中图像在处的切线平行于轴.
(1)确定与的关系;
(2)设斜率为的直线与的图像交于,求证:.
思维引导 (2),所证不等式为即,进而可将视为一个整体进行换元,从而转变为证明一元不等式.
解析 (1),,
依题意可得:.
2
(2)依题意得,故所证不等式等价于:
.
令,则只需证:.
先证右边不等式:,
令,,在单调递减,.
即.对于左边不等式:.
令,则,在单调递增,.
总结提升
(1)在证明不等式时,由于独立取值,无法利用等量关系消去一个变量,所以考虑构造表达式:使得不等式以为研究对象,再利用换元将多元不等式转变为一元不等式.
(2)所证不等式为轮换对称式时,若独立取值,可对定序,从而增加一个可操作的条件.
[例4] 已知函数.
(1)求的单调区间和极值;
(2)设,且,证明:.
思维引导 所证不等式等价于证,轮换对称式可设,进而对不等式进行变形,在考虑能否换元减少变量.
解析 (1)定义域为,,令,解得:.
∴的单调增区间是,单调减区间是,
的极小值为,无极大值.
(2)不妨设,.
,(由于定序,去分母避免了分类讨论)
3
,(观察两边同时除以,即可构造出关于的不等式)
两边同除以得,,
令,则,即证:.
令,
.
令,,(再次利用整体换元)
,在上单调递减,所以.
即,即恒成立,
∴在上是减函数,所以.
∴得证.所以成立.
总结提升
(1)本题考验不等式的变形,对于不等式而言,观察到每一项具备齐次的特征(不包括对数),所以同除以,结果为或者1,观察对数的真数,其分式也具备分子分母齐次的特点,所以分子分母同除以,结果为或者1,进而就将不等式化为以为核心的不等式.
(2)本题进行了两次整体换元,第一次减少变量个数,第二次简化了表达式.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=ln x-.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)设m>n>0,求证:lnm-lnn>.
1.解析 (1)f′(x)=-==.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
4
即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2a-2≤x+在(0,+∞)上恒成立.
因为x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以2a-2≤2,解得a≤2.
(2)要证ln m-ln n>,只需证ln>,即证ln->0.
设h(x)=ln x-,由(1)可知h(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为>1,所以h>h(1)=0,即ln->0,所以原不等式成立. Error! Reference source not found.
2.已知函数f(x)=+ln x在(1,+∞)上是增函数,且a>0.
(1)求a的取值范围;
(2)若b>0,试证明
0,所以ax-1≥0,即x≥,
所以≤1,即a≥1,故a的取值范围为[1,+∞).
(2)因为b>0,a≥1,所以>1,又f(x)=+ln x在(1,+∞)上是增函数,
所以f>f(l),即+ln >0,化简得0).
(1)设F(x)=f(1)x2+f′(x),讨论函数F(x)的单调性;
(2)过两点A(x1,f′(x1)),B(x2,f′(x2))(x10,函数F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当ln a<0,即00,得(ln a)x2+1>0,解得0.
所以函数F(x)在上为增函数,在上为减函数.
(2)因为k===,x2-x1>0,要证1,则只要证1-0(t>1),故g(t)在(1,+∞)上是增函数.
所以当t>1时,g(t)=t-1-ln t>g(1)=0,即t-1>ln t成立.
②要证1-1,即证t-10(t>1),
故函数h(t)在(1,+∞)上是增函数,所以当t>1时,h(t)=tln t-(t-1)>h(1)=0,即 t-10.由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
得ln x1+x+x1+ln x2+x+x2+x1x2=0,从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln(x1x2),
令t=x1x2,则由φ(t)=t-ln t,得φ′(t)=1-=,
易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,
所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1,因为x1>0,x2>0,所以x1+x2≥成立.
6.已知函数f (x)=λln x-e-x(λ∈R).
(1)若函数f (x)是单调函数,求λ的取值范围;
(2)求证:当01时,φ′(x)>0,
则φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴当x>0时,φ(x)min=φ(1)=-,∴λ≤-.
②当函数f (x)是单调递增函数时,f ′(x)≥0,∴≥0,即λ+xe-x≥0,λ≥-xe-x=-,
由①得φ(x)=-在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,x→+∞时,φ(x)<0,∴λ≥0.
综上,λ的取值范围是∪[0,+∞).
(2)由(1)可知,当λ=-时,f (x)=-ln x-e-x在(0,+∞)上单调递减,
∵0f (x2),即-ln x1->-ln x2-,∴>ln x1-ln x2.
要证,只需证ln x1-ln x2>1-,即证ln>1-,
令t=,t∈(0,1),则只需证ln t>1-,令h(t)=ln t+-1,则h′(t)=-=,
当00,即ln t>1-,故原不等式得证.
7.已知函数f(x)=lnx+(a>0).
(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;
(2)证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.
7.解析 (1)解法一 函数f(x)=ln x+的定义域为(0,+∞).由f(x)=ln x+,得f′(x)=-=.
因为a>0,x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上