2022届湖南省新宁县名校高三年级下册学期第三次模拟考试数学试卷 【含答案】

2022届高三第三次模拟考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数（i为虚数单位），则在复平面内的对应点落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】， ，对应的点为，落在第二象限，故选B． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为和的最小公倍数为，故，故选A． 3．从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位cm）绘制成频率分布直方图，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动．则从身高在内的学生中选取的人数应为（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【解析】依题意，解得， 身高在，，三组内的学生比例为， 用分层抽样的方法选取16人参加一次活动， 则从身高在内的学生中选取的人数应为人，故选B． 4．在一次独立性检验中得到如下列联表： A1 A2 总计 B1 200 800 1000 B2 180 a 180＋a 总计 380 800＋a 1180＋a 若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是（ ） A．200 B．720 C．100 D．180 【答案】B 【解析】当时，， 易知此时两个分类变量没有关系，故选B． 5．在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，外接圆半径， 底面，球的半径，故选B． 6．设分别是函数和的零点(其中)，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，即，所以是图象与图象的交点，且显然， 令，得，即，所以是图象与图象的交点， 因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有， 所以，令在上单调递减，所以， 故选C． 7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，焦距为4，点关于双曲线C的一条渐近线的对称点为P，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】如图设与渐近线的交点为， 则，且，， 因为为的中点，所以，所以， 所以，所以， 则，所以， 在中，，即， 即，所以， 又焦距，所以，所以离心率，故选D． 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 由余弦定理可得． 因为的面积， 所以， 因为， 所以， 故当时，取得最大值3，此时，故选B． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由、，可得， 又，所以，故A正确； 对于B，由、，可得， 又，则或，故B错误； 对于C，由，则或， 又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误； 对于D，由、，可得， 又，所以，故D正确， 故选AD． 10．已知数列的前项和为，下列说法正确的（ ） A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，，则 【答案】ABC 【解析】对于选项A，由，得， 两式相减得， 又当时，，满足上式， 所以，故是等差数列，选项A正确； 对于选项B，由，得， 两式相减得， 又，满足上式，所以， 故，即是以1为首项，以2为公比的等比数列，选项B正确； 对于选项C，由是等差数列，得，选项C正确； 对于选项D，若等比数列的公比， 则，选项D错误， 故选ABC． 11．已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．在内有2个解 【答案】AD 【解析】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以为偶函数，所以A正确； 对于B中，由， 可得函数的最小正周期为，所以B错误； 对于C中，当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递增，所以在上单调递增； 当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递减，故在上单调递减，所以C错误； 对于D中，由，则或， 当时，有两个解，无解， 所以在内有2个解，所以D正确， 故选AD． 12．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（ ） A．若a为定值，则为定值 B．若，则 C．存在H，使，，成等比数列 D．若，则，，成等差数列 【答案】ACD 【解析】正四面体的高为， 由， 即， 所以， 所以，故A正确； 由A知，，∴，B不正确； 当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确； 对于D选项，因为，， 若，则，则， 设H到，，的距离为，，，∴， 又因为平面、平面、平面与平面所成角相等， ∴，所以，，成等差数列，故D正确， 故选ACD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知是非零向量，若，与的夹角是，则_________． 【答案】2 【解析】因为，与的夹角是， 所以， 故答案为2． 14．的展开式中项的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】的展开式中项的系数为：， 故答案为． 15．已知圆，在圆内任取一点，以为弦中点作弦，则弦长的概率为_________． 【答案】（或） 【解析】由题意可知：在圆内任取一点，以为弦中点作弦， 当时，， 故的轨迹方程是，要使弦长， 则必须在内（含圆周）， 所以弦长的概率为， 故答案为． 16．已知函数（，e为自然对数的底数，e=2．71828…）．当时，函数在点处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________． 【答案】，e 【解析】由题意当时，，， 则，， 所以函数在点处的切线方程为． 因为，即，则， 令，故， 在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即， 记，则， 当时，；当时，， 故函数在单调递减，在单调递增， 故的最小值是，故，即实数a的最大值是， 故答案为，． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等差数列，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，得， ∵，∴，所以， 又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 故数列的通项公式为． （2）由成等差数列可知，， 所以． 所以，① ，② 由①-②，得 ， 故． 18．（12分）电影《长津湖》让那些在冰雪里为国而争的战士和他们的故事，仿佛活在了我们眼前；让我们重回那段行军千里，只为保家卫国的峥嵘岁月；也让我们记住，今天的美好盛世，是那群最可爱的人历经何种困苦才夺来的．某校高三年级8个班共400人，其中男生240名，女生160名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为组，各班观影女生人数记为组，得到如下茎叶图． （1）根据茎叶图完成列联表，并判断是否有的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关； 观影人数 没观影人数 合计 男生 女生 合计 （2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取人参加座谈，并从参加座谈的学生中随机抽取位同学采访，记为抽取的男生人数，求的分布列和数学期望． 参考数据： ，． 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为观看该影片与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为． 【解析】（1）解：列联表如下表所示： 观影人数 没观影人数 合计 男生 女生 合计 ， 所以没有的把握认为观看该影片与性别有关． （2）解：选出的女生人数为，选出的男生人数为， 从参加座谈的学生中随机抽取男生人数为，则的可能取值为、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ． 19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，． （1）若，求C； （2）点D在边AB上，且，证明：CD平分∠ACB． 【答案】（1）；（2）证明见解析﹒ 【解析】（1）由，， ∵，∴﹒ （2）设，， ∵，∴由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② ，， ∴得，， ∵、，，即平分． 20．（12分）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点．如图，，，点是上的动点．沿将纸片折为直二面角，并连接，，，． （1）当平面时，求的长； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因平面，平面内，平面平面， 则有， 因此，， 而，则， 所以的长是． （2）因，平面平面，平面平面，平面ABC，则平面， 三棱锥的体积， 因此，三棱锥的体积最大，当且仅当，即， 取PD中点M，连接OM，CM， 由，可得，如图， 于是得，即是二面角的平面角， 而， 在中，，则，， 所以二面角的余弦值是． 21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点． ①求直线的方程（用，表示）； ②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】（1）由题意知，椭圆的离心率为，且过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①因为是椭圆在第一象限的点， 所以，即()， 设直线l方程为，则， 消去y，整理得， 则， 整理，得， 即，则，解得， 所以直线l方程为，即． ②令，得；令，得， 即，， 由()，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，得， 所以，此时， 故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为． 22．（12分）已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，证明． 【答案】（1）函数的增区间为、，减区间为；（2）证明见解析． 【解析】（1）解：当时，，该函数的定义域为， ， 由可得；由可得或， 因此，当时，函数的增区间为、，减区间为． （2）证明：由得． ①当时，，，不等式显然成立； ②当时，，由，得， 所以只需证，即证， 令，其中，则， 令，其中，则， 令，则，所以在上单调递增， 因为，，所以存在，使得成立， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又因为，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，原不等式得证． 综上所述，当时，