2022届陕西省汉中市高三年级上册学期第四次校际联考数学（理）试题【含答案】

2022届陕西省汉中市高三上学期第四次校际联考数学（理）试题 一、单选题 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集运算即可求解. 【详解】， 所以 故选：. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的正切公式，化简求值. 【详解】. 故选：D 3．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ） A．10米/秒 B．9米/秒 C．7米/秒 D．5米/秒 【答案】B 【分析】利用导数的物理意义，即可计算瞬时速度. 【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒. 故选：B 4．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项，代入求的范围，根据正弦函数的性质，判断选项. 【详解】A.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故A错误； B. 当时，，函数在区间单调递增，在区间单调递减，故B错误； C. 当时，，函数在区间单调递增，故C正确； D.当时，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，故D错误. 故选：C 5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据外接球半径求法和球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意，体对角线的长度为外接球的直径， 所以， 故该球的表面积为. 故选：A. 6．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】因为，， 则，解得， 所以. 故选：D. 7．设，，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作差法分别比较与，与的大小，从而得出，，的大小关系. 【详解】因为，所以， 所以， ， 所以，即. 故选：C. 8．如图，已知正方体，，分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线平面 D．直线平面 【答案】C 【分析】根据中位线定理证明平行，再由线面平行的判定定理即可求解. 【详解】直线与直线既不平行，也不相交，故选项A错误，选项B错误； 根据题意，是中位线，所以， 面，而面， 所以直线平面，故选项C正确，选项D错误. 故选：C. 9．用清水冲洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过，则至少要洗的次数是（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】设洗的次数是，根据题意列出关于n的不等式，再解不等式即可作答. 【详解】设洗的次数是，令原有污垢为1，因为每次能洗去污垢的，则每次洗后留存的污垢为， 于是得次冲洗后存留的污垢为，由得：，而，则， 所以至少要洗的次数是10. 故选：B 10．“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出不等式恒成立的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】因为，，则有，解得， 而Ü， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得最大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答. 【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确； 在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确. 故选：D 12．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在椭圆上，则周长的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，进而结合椭圆定义得的周长为，再根据求解即可. 【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆定义知，故， 所以的周长为， 因为当且仅当三点共线时，等号成立， 所以，， 所以周长的最大值为， 故选：D 二、填空题 13．双曲线的焦点坐标是______． 【答案】， 【分析】将方程化为双曲线的标准方程，再求焦点坐标. 【详解】双曲线方程化简为标准方程为， 由方程可知焦点在轴，其中，则， 所以焦点坐标是. 故答案为： 14．已知是正项等比数列，且，则______． 【答案】3 【分析】根据等比数列的下标和性质结合对数的定义与运算求解. 【详解】. 故答案为：3. 15．函数的部分图像如图所示，则=______． 【答案】1 【分析】根据函数的最值，周期，最小值点等信息代入即可求解. 【详解】根据函数图像， ，,解得 所以. 又，所以， 所以，所以， 又因为， 所以令，则， 所以， 所以. 故答案为：1. 16．若某几何体为一个棱长为2的正方体被过顶点P的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图①为俯视图，其正视图和侧视图为图②③④⑤中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）． 【答案】②⑤(答④③也正确) 【分析】根据点P的位置排除不可能为正视图的选项③和⑤，分正视图为②④时，分别讨论即可. 【详解】由截面过顶点可知，正视图不可能为③和⑤，正视图为②时，侧视图为⑤，其直观图如图所示： 当正视图为④时，侧视图为③，其直观图如图所示： 故答案为：②⑤(答④③也正确) 三、解答题 17．已知是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值． 【答案】(1) (2)-30 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项性质即可求解；（2）根据等差数列的求和是二次函数即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则． ∵是和的等比中项， ∴，解得． ∴． （2）由（Ⅰ）可知， 当n=5或6时 的最小值为． 18．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）75%；60%； （2）能. 【分析】根据给出公式计算即可 【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为, 乙机床生产的产品中的一级品的频率为. （2）, 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 19．如图，四边形是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理作答. （2）以点D为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解作答. 【详解】（1）四边形是正方形，有，而平面，平面，则， 又，平面， 所以平面. （2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 即有，，， 由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面与平面夹角为， 则有 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20．已知抛物线上的点到焦点的距离为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线联立后结合，即可进一步求解. 【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为， 由点到焦点的距离为4，得，解得， ∴抛物线的标准方程为． （2）由消去得． ∴，． 设直线和直线的斜率分别为，， 以线段为直径的圆过原点，∴，∴． ∵，， ∴，． ∴，即． ∴直线． ∴直线恒过定点． 21．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解； （2）分和两种情况讨论，根据题意结合导数与单调性的关系分析求解. 【详解】（1）∵，∴， 则，．即切点坐标为，切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为，即． （2）∵，，则有： 当，则在上恒成立， 故函数在上单调递增，则， 即在无零点，不合题意，舍去； 当，令，则在上单调递增，则， 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则， 故在上恒成立， ∴， （ⅰ）当，即时，则，则函数在上单调递增，则， 故函数在上单调递增，则， 即在无零点，不合题意，舍去； （ⅱ）当，即时，则函数在存在唯一的零点， 可得：当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，则， ∵，即， ∴， ①当，即时，则在上恒成立， 故函数在上单调递增，则， 即函数在无零点，不合题意，舍去； ②当，即时， 结合①可得：若时，在上恒成立， 故， 故在内有两个零点，不妨设为， 可得：当或时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上只有一个零点，且， ∴， 又∵，即， ∴，解得， 故； 综上所述：. 【点睛】思路点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线极坐标方程为． (1)求曲线的极坐标方程； (2)已知射线与曲线的交点为，求点的直角坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式即可将参数方程化为普通方程，再利用极坐标方程方法即可求解；（2）根据极坐标方程代入即可求解. 【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数）， ∴曲线的普通方程为， 根据转化为极坐标方程为， ∴曲线的极坐标方程为． （2）当时，， ∴． ∴点的极坐标为． ∴点的直角标为． 23．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题知，进而平方解不等式即可； （2）由绝对值三角不等式得，进而解即可得答案. 【详解】（1）解：因为即为， 所以，即，解得， 所以，不等式的解集为 （2）解：因为对任意实数恒成立，， 所以对任意实数恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得或， 所以，实数的取值范围为.