资源描述
2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且DE∥AB，若S△CDE ：S△BDE＝1：3，则S△CDE：S△ABE ＝（ ）
A．1：9 B．1：12
C．1：16 D．1：20
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播广告
B．a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0
C．明天太阳从西方升起
D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
3．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D． 5
4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜﹣ C．k＜3 D．k＞﹣3
5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）
A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
7．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
8．已知二次函数的图像与x轴没有交点，则( )
A． B． C． D．
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为
A．，且 B．，且
C． D．
10．抛物线的顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝ º．
12．如图，△ABC内接于圆，点D在弧BC上，记∠BAC-∠BCD=α，则图中等于α的角是_______
13．如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是__________．
14．二次函数的最大值是__________．
15．正六边形的中心角等于______度．
16．使函数有意义的自变量的取值范围是___________.
17．如图，正方形的顶点分别在轴和轴上，边的中点在轴上，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则的长为__________．
18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为_______________________________________．（不用化简）
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．
(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标；
(2)若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标；
(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．
20．（6分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若DF∥AB，则BD与CD有怎样的数量关系？并证明你的结论．
21．（6分）在平面直角坐标系中的位置如图所示.
在图中画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，画出平移后的，并写出顶点的坐标.
22．（8分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列向题．
求的长度（结果保留根号）；
求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．
23．（8分）为了测量竖直旗杆的高度，某数学兴趣小组在地面上的点处竖直放了一根标杆，并在地面上放置一块平面镜，已知旗杆底端点、点、点在同一条直线上．该兴趣小组在标杆顶端点恰好通过平面镜观测到旗杆顶点，在点观测旗杆顶点的仰角为．观测点的俯角为，已知标杆的长度为米，问旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）
24．（8分）已知抛物线y＝x2﹣bx+2b（b是常数）．
（1）无论b取何值，该抛物线都经过定点 D．请写出点D的坐标．
（2）该抛物线的顶点是(m，n)，当b取不同的值时，求n关于m的函数解析式．
（3）若在0≤x≤4的范围内，至少存在一个x的值，使y＜0，求b的取值范围．
25．（10分）如图1 ，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．
（1）求证：．
（2）如图2所示，点是平行四边形的边所在直线上一点，若，且， ，求的面积．
26．（10分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由S△CDE ：S△BDE＝1：3得CD：BD＝1：3，进而得到CD：BC＝1：4，然后根据DE∥AB可得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性质得到，然后根据面积和差可求得答案.
【详解】解：过点H作EH⊥BC交BC于点H，
∵S△CDE ：S△BDE＝1：3，
∴CD：BD＝1：3，
∴CD：BC＝1：4，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∵S△ABC＝S△CDE＋S△BDE＋S△ABE，
∴S△CDE：S△ABE ＝1：12，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
2、B
【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；
B、∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0是必然事件；
C、明天太阳从西方升起是不可能事件；
D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．注意掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3、B
【解析】由平行四边形得AD=BC，在Rt△BAC中，点E为BC边中点，根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可求出AE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥AB，∴△BAC为Rt△BAC，
∵点E为BC边中点，
∴AE=BC=.
故选B.
4、A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，
解得：k＜．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5、D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
6、C
【解析】由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．
故选C．
7、B
【分析】根据方差公式的定义即可求解.
【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.
故选B．
【点睛】
此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.
8、C
【分析】若二次函数的图像与x轴没有交点，则，解出关于m、n的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：与轴无交点，，
，故A、B错误；
同理：；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
9、A
【解析】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k-1≠0且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1，
故选A．
10、C
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x轴的距离.
【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x轴的距离为2.
故选C.
【点睛】
本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、55
【解析】分析：∵∠ACB与∠AOB是所对的圆周角和圆心角，∠ACB＝35º，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=．
12、∠DAC
【分析】由于∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，故∠BAD=∠BCD，故∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD，即可得出答案.
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD=∠DAC，
∵∠BAC-∠BCD=α
∴∠DAC=α
故答案为：∠DAC.
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键.
13、2：1
【分析】根据位似三角形的性质，可得出两个三角形的周长比等于位似比等于边长比求解即可．
【详解】解：由题意可得出，
∵的周长与的周长比=
故答案为：2：1．
【点睛】
本题考查的知识点是位似变化，根据题目找出两个图形的位似比是解此题的关键．
14、1
【分析】二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.
【详解】解：∵，
∴有最大值，
当时，有最大值1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法
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