2019中考数学压轴题9

2019中考数学压轴题6 4.（2 0 1 6 浙江省台州市）（操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按厂”键求算术平方根，运算结果越来越接近1 或都等于 1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k,再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）.也可用图象描述：如图1,在 x 轴上表示出x l,先在直线y=k x+b 上确定点（x l,y l）,再在直线y=x上确定纵坐标为y l 的 点（x 2,y l）,然后再x 轴上确定对应的数x 2,，以此类推.【解决问题】研究输入实数x l 时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x,怎样变化.（1）若 k=2,b=-4,得到什么结论？可以输入特殊的数如3,4,5 进行观察研究；（2）若 k l,又得到什么结论？请说明理由；k=-（3）若 3,b=2,已在x 轴上表示出x l （如图2 所示），请在x 轴上表示x 2,x 3,x 4,并写出研究结论；若输入实数x l 时，运算结果x n互不相等，且越来越接近常数m,直接写出k的取值范围及m的值（用含k,b的代数式表示）【答案】（1）当 X 1 V 4 时，随着运算次数n 的增加，运算结果x n越来越小；当 x l=4 时，随着运算次数 n 的增加，运算结果x n的值保持不变，都等于4；当x l 4 时，随着运算次数n 的增加，运算结果x n越来越大b b;（2）当 x l l-上时，随着运算次数n 的增加，x n越来越大；当xlV上时，随着运算次数n 的增b加，x n越来越小；当x l=l-上时，随着运算次数n 的增加，x n保持不变；（3）随着运算次数的增加,6b运算结果越来越接近6;-I V k V l 且 k W O,【分析】（1）分 x l V 4,x l=4,x l 4 三种情形解答即可.b b b(2)分x l=l-上三种情形解答即可.(3)如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，x n的值越来越接近两直线交点的横坐标.根据前面的探究即可解决问题.【解析】(1)若行2,b=-4,y=2x-4,取x i=3,贝以=2,X 3=0,。=-4,取 X】=4,则 X 2 X 3 K 4=4,取x】=5,则X 2=6,X 3=8,x 4=1 2,由此发现：当X】4 时，随着运算次数的增加，运算结果必越来越大.b(2)当时，随着运算次数n 的增加，x n越来越大.b当x l V =时，随着运算次数n 的增加，x n越来越小.b当x l=l-k 时，随着运算次数n 的增加，x n保持不变.b b b理由：如图1 中，直线y=k x+b 与直线y=x 的交点坐标为(1-J 当xl&时，对于同一个 x 的值，k x+b x /.y l x lbV y l=x 2,.,.x l x 2,同理x 2 V x 3 V x n,.当时，随着运算次数n 的增加，x n越来越大.b同理，当X 1 ”、“V”或“=”)；当P点在抛物瓢上运动时，猜想P 0 与 P H有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图2,设点C (1,-2),问是否存在点P,使得以P,0,H 为顶点的三角形与a A B C 相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.y X-+1 【答案】(1)4 ,顶点 B(0,1)；(2)5,5=；P O=P H；(3)P (1,4)或(-匕 4).【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题.(2)求出P 0、P H即可解决问题.-m2+1结论：P O=P H.设点P 坐 标(m,4 ),利用两点之间距离公式求出P H、P 0 即可解决问题.1 2t n,+1 PH-B-C-(3)首先判断P H与B C,P 0 与A C 是对应边，设点P (m,4 )，由8 A 列出方程即可解决问题.1【解析】(1)解：抛物线=公+1 经过点A (4,-3),/.-3=1 6 a+l,/.a=4 .抛物线解析式为1、,y=x+14，顶点 B (0,1)；(2)当P点运动到A点处时,V P 0=5,P H=5,/.P O=P H,故答案分别为:5,5=；I 2 1 I?1 m+1 nr+l m+l 结 论：P O=P H.理由：设 点 P坐 标(m,4 ),VPH=2-(4)=4 ,.m2+(-m2+l)2=-m2+lP 0=V 4 4.-.P O=P H；(3)+3?=M,A C=V l2+32=V l O,A B=V 42+42=4 7 2 ,.-.B C=A C,V P O=P H,又，.,以 P,0,PH BC I 2,-=-m+1H 为顶点的三角形与4 A B C 相似，.P H与 B C,P 0 与A C 是对应边，HO BA,设点P(m,4 ),m-+1/777京+4 4 血，解得 m=i,.点 p 坐 标(i,I)或(-I,7).点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题.考点：二次函数综合题；动点型；探究型；存在型；压轴题.6 6.(2 0 1 6 湖北省咸宁市)阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如 图 I,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设I这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们把s i n a 的值叫做这个平行四边形的变形度.(I)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是1 2 0 度，则这个平行四边形的变形度是.猜想证明：I(2)设矩形的面积为S I,其变形后的平行四边形面积为S 2,试猜想S I,S 2,/花之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图2,在矩形A B C D中，E 是A D边上的一点，且A1=AEAD,这个矩形发生变形后为平行四边形A 1 B 1 C 1 D1,E1 为E 的对应点，连接B I EI,B 1 D1,若矩形A B C D的面积为4 标(m 0),平行四边形A 1 B 1 C 1 D1 的面积为2 后(m 0),试求N A 1 E1 B 1+N A 1 D1 B 1 的度数.2-S、=1【答案】（1）3；（2）S2 s in e；（3）3 0.【分析】（1）根据平行四边形的性质得到a=6 0。，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图1,设矩形的长和宽分别为a,b,变形后的平行四边形的高为h,根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；（3）由已知条件得到B lA lE ls D lA lB l,由相似三角形的性质得到NA1B1E1=DA1D1B1,根据平行线的性质得到 ZA1E1B1=ZC1B1E1,求得 ZA1E1B1+ZA1D1B1=ZC1E1B1+ZA1B1E1=ZA1B1C1,证得ZA1B1C1=3O,于是得到结论.1【解析】（1）.平行四边形有一个内角是120度，a=60,sin a=sin60=3；2百故答案为：3；1（2）sin e S?,理由：如图匕设矩形的长和宽分别为a,b,变形后的平行四边形的高为h,.Sl=ab,h ah b 1 b 工=1S2=ah,s i n a=,：.S2=ah=h,s in a=1,.&sin a ；A B=（3）AB2=AEAD,4 4-=A1E1A1D1,即 A A 4 ,VZB1A1E1=ZD1A1B1,/.B IA IEIA D IA IB I,/.ZA1B1E1=ZA1D1B1,VA1D1/7B1C1,ZA1E1B1=ZC1B1E1,_ 丛 4VmA ZA1E1B1+ZA1D1B1=ZC1E1B1+ZA1B1E1=ZA1B1C1,由（2）知”夕 邑，可知 s in/A 4 G =2诟=2,_.,.sinZ A lB lC l=2,A ZA1B1C1=3O,ZA1E1B1+ZA1D1B1=3O.点睛：本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键.考点：相似形综合题；新定义；探究型；压轴题.67.（2016湖南省岳阳市）数学活动-旋转变换（1）如图，在aA B C中，ZABC=130,将aA B C绕点C逆时针旋转5 0 得到a A B C,连接B B,求N A B B的大小；(2)如图，在AB C 中，N AB C=1 5 0 ,AB=3,B C=5,将AB C 绕点C 逆时针旋转6 0 得到4 A B C,连接B B ,以A 为圆心，A B 长为半径作圆.(I )猜想：直线B B 与。A 的位置关系，并证明你的结论；(II)连接A B,求线段A B的长度；(3)如图，在AAB C 中，Z AB C=a (9 0 a 1 8 0 ),AB=m,B C=n,将AAB C 绕点 C 逆时针旋转2B角度(0 2 P 1 8 0 )得到AA Bz C,连接A B 和 B B ,以A 为圆心，A B 长为半径作圆，问：角 a与 角 B满足什么条件时，直线B B 与。A 相切，请说明理由，并求此条件下线段A B的长度(结果用角a或 角 p的三角函数及字母m、n 所组成的式子表示)【答案】(1)6 5 ；(2)(I )直 线 B B 是。A 的切线；(II)取；(3)当 a +3=1 8 0 时，直线B B 是0A 的切线，A B=M2+4 2s i n.【分析】(1)根据N A，B，B=Z AZ B C-Z B BZ C,只要求出N A，Bz B即可.(2)(I )结论：直线B B 、是。A 的切线.只要证明N A B B=9 0 0 即可.(II)在 R T Z AB B 中，利用勾股定理计算即可.(3)如图中，当 a +p=1 8 0 时，直线B B 、是OA 的切线.只要证明N A B B=9 0 即可解决问题.在A C B B 中求出B B ,再在R T T X A B B中利用勾股定理即可.【解析】解；(1)如图中，.A B C 是由a AB C 旋转得到，.N A B C=Z AB C=1 3 0 ,C B=C BZ,.N C B B =/C B B,V Z B C BZ=5 0 ,A Z C B BZ=N C B B=6 5 ,，N A B B=Z A,B C -N B B C=6 5 .(2)(I )结论：直线B B 是。A 的切线.理由：如图中，VZA,B C=Z AB C=1 5 0 ,C B=C B ,/.Z C B B,=Z C B/B,V Z B C BZ=6 0 ,.N C B B =Z C Bz B=6 0 ,Z AZ Bz B=N A B C-N B B C=9 0 ,A AB*_ L B B ,，直线 B B 、是。A 的切线.(I I ).在 R T Z X AB B 中，.N AB B=9 0 ,B B =B C=5,ABZ=AB=3,.A 后.(3)如图中，当 a+B=1 8 0 时，直线B B 是G)A 的切线.理由：VZA,B C=Z AB C=a ,C B=C BZ，/.Z C B B,=Z C B,B,V Z B C B,=2 B ,1 8 0 -2 月/.Z C B BZ=ZCB B=2 ，:.NA B B=Z A,B C-N B B，C=a -9 0 +6=1 8 0。-9 0 =9 0 ,.AB B B,二直线 B B 是。A 的切线.在 a C B B 中.C B=C B =n,Z B C BZ=2 B ,.B B =2 ns i nB,在 R T Z A B B 中，A B=B B 0)的图象与直线y=x交于点M,ZAMB=90,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.(1)求k的值；ky=(2)点P在反比例函数 (x 0)的图象上，若点P的横坐标为3,NEPF=90,其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在，求出点E的坐标；若【分析】(1)过点M作MC_Lx轴于点C,M DJ_y轴于点D,根据AAS证明AAMC四BM D,那么S四边形OCMD