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北京汇文中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试试卷
数学试卷
一. 选择题（每题5分，共10小题）
1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0,1,2) B．(3,6,9) C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
2．若α , β表示不同的平面，平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v2＝(－2，－4，－2)，则平面α与平面β( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
3．已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则=( ）
A． B． C． D．
4.若向量，且与的夹角余弦为，则=（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则直线AB的斜率为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 不存在
6. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
8．设椭圆C：y2＋＝1(0＜m＜1)的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A在椭圆C上，|AF1|＋|AF2|＝4，则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
10．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点．△F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为－，则椭圆的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1
二.填空题（每题5分，共6小题）
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于直线 BD吗? 填“是”或“不是”_________
12. 已知直线与直线平行，则实数
13. 双曲线的渐近线方程为_________________.
14.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数 ；直线的方程为 .
15. 已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_______.
16.设椭圆的左、右焦点分别为，，P为直线上一点，△是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为___________。
三.解答题（共4道大题，17，18题每题17分，19，20题每题18分）
17.已知圆.
（Ⅰ）试写出圆的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）圆的圆心在直线上，且与圆相外切，被轴截得的弦长为，求圆的方程；
（III）过点的直线交（Ⅱ）中圆于两点，求弦的中点的轨迹方程.
18．已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为
．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程
19.如图，已知直线与椭圆交于两点. 过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.
( I ) 求直线与的斜率之积；
( II ) 若直线与轴交于点，求证：与轴垂直.
20．如图,四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E是上的一点，．
(1)证明：平面；
(2)设二面角为，求与平面所成角的大小．
答案 BABC A DA BDC
11.是 12.1或-1 13.y=±34x 14.12；2x-y-1=0 15.1 16.34
17.（Ⅰ）(x+5)2+(y+5)2=16，圆心(-5,-5)，半径r=4.
（Ⅱ）因为圆D圆心在x=-5上，所以设圆D：(x+5)2+(y−b)2=R2，
因为圆D与圆C外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R.
因为圆D被x轴截得弦长为10，所以圆心D到x轴距离|b|=R2−52.
解得R=13,b=12，即圆D：(x+5)2+(y−12)2=132
（III）连接DM、PM、DP，PD中点为N(−52,7)，
因为M为弦EF中点，所以DM⊥PM，△MPD为直角三角形，MN=12DP=12(−5−0)2+(12−2)2=552.
因为动点M到定点N(−52,7)的距离为定值552，所以动点M的轨迹为圆，其方程为(x+52)2+(y−7)2=1254.
18. （1）由题意可得 解得
直线的方程为或
19.（Ⅰ）设Px1,y1,A(x2,y2)，联立y=kxx2+2y2=2，得2k2+1x2=2，所以Q−x1,−y1
kPA=y2−y1x2−x1, kAQ=y2+y1x2+x1. kPA·kAQ=y2−y1x2−x1·y2+y1x2+x1
因为P,A都在椭圆上，所以x122+y12=1，x222+y22=1.
kPA·kAQ=y12−y22x12−x22=1−x122·(1−x222)x12−x22=12(x22−x12)x12−x22=−12.
（Ⅱ）因为kAQ=y2+y1x2+x1=−12kPA，又PQ⊥PA，即kPA=−1k
所以kAQ=k2，所以直线AQ：y1=k2(x+x1).
因为P在直线y=kx上，所以y1=kx1，
代入得到B点的横坐标为x=x1，
所以直线PB与x轴垂直.
20． 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设.
(Ⅰ)证明:由得, 所以,,,所以,
.所以,,所以平面;
(Ⅱ) 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得.
所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.
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