2021年云南省昆明市天成学校高三数学文联考试卷含解析

2021年云南省昆明市天成学校高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等腰△中，，，在角内部作射线交边于点，则线段的概率为(     )                                         参考答案： D 略 2. 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（    ）． （A）20        （B）18    （C）19       （D）21 参考答案： A   3. 设函数f（x）=（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）?S，则a的取值范围是． A．（﹣∞，） B．[1，]∪（，2] C．（﹣∞，）∪[1，2] D．（，+∞） 参考答案： C 【考点】函数的值域． 【专题】综合题；分类讨论；函数思想；集合思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】对a=0，a＞，a＜0分类求出分段函数的值域S，结合[1，+∞）?S，由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围． 【解答】解：a=0，函数f（x）==，函数的值域为S=（0，+∞），满足[1，+∞）?S， a＞0，当x≥0时，f（x）=asinx+2∈[2﹣a，2+a]；当x＜0时，f（x）=x2+2a∈（2a，+∞）． 若0，f（x）的值域为（2a，+∞），由[1，+∞）?S，得2a＜1，∴0； 若，即，f（x）的值域为[2﹣a，+∞），由[1， +∞）?S，得2﹣a≤1，∴1≤a≤2； 若2+a＜2a，即a＞2，f（x）的值域为[2﹣a，2+a]∪（2a，+∞），由[1，+∞）?S，得2a＜1，∴a∈?； a＜0，当x＜0，f（x）=x2+2a＞2a，此时一定有[1，+∞）?S． 综上，满足[1，+∞）?S的a的取值范围是（﹣∞，）∪[1，2]． 故选：C． 【点评】本题考查函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了集合间的关系，是中档题． 4. 命题“若，则”的逆否命题是（      ）     A．若，则      B．若，则     C．若，则      D．若，则 参考答案： C 5. 曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1、P2、P3、…，则|P2P4|等于                                (　　)  ．         ．        ．        ． 参考答案： B 6. 已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（　　） 　 A． 1 B． C． D． 3 参考答案： C 略 7. 复数,是虚数单位，则的虚部是(    ) A.      B.     C.       D. 参考答案： D 8. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则                     A. 2011           B. 2012            C. 2013            D. 2014 参考答案：    C 略 9. i是虚数单位，复数 =（  ）． (A)0           (B)2 (C) -4i         (D) 4i 参考答案： D 10. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（   ） A．    B．    C．    D．    参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知全集为，且集合，，则          ． 参考答案： (－1,2)  12. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量（桶） 480 440 400 360 320 280 240     根据以上数据，这个经营部要使利润最大，销售单价应定为       元。 参考答案： 13. 已知正实数满足，则的最小值为      ． 参考答案： 14. 已知集合，， 则_____________． 参考答案： ，，所以。 15. 如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，已知，，则当最大时，三棱锥P-ABC的体积为__________． 参考答案： 4 设，则，，， ，当且仅当，即时，等号成立. , 故答案为：4 16. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是               参考答案： 略 17. 由曲线y=x3与y=围成的封闭图形的面积是　　． 参考答案：   【考点】定积分在求面积中的应用． 【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得． 【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积 ． 故答案为：． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆:交轴于、两点,曲线是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为,若是圆上一点,连结,过原点作直线的垂线交直线于点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)若点的坐标为求证:直线与圆相切； (Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 参考答案： 解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1, 所以椭圆C的标准方程为         ………5分 (Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分 ∴,又,∴,即OP⊥PQ,故直线PQ与圆O相切   ……10分 (Ⅲ)当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切                   ………11分 证明:设(),则,所以,, 所以直线OQ的方程为      所以点Q(-2,)     ………12分 所以,又  ……13分 所以,即OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆O相切.            ………14分 19. 设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值； （3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出； （2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出； （3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，． 两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明． 解：（1）x∈（0，+∞）． ==． 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． 当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得． 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即． ∵a＞0，∴． 令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==， 所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3）， 当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0． 所以满足条件的最小正整数a=3． 又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3． （3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0． 不妨设0＜x1＜x2．则，． 两式相减得+alnx2=0， 化为a=． ∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0． 故只要证明即可， 即证明x1+x2＞，即证明， 设，令g（t）=lnt﹣，则=． ∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0 ．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0， ∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证． 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法． 20. （本小题满分12分）已知函数（）． ⑴ 求的单调区间； ⑵ 如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； （3）讨论关于的方程的实根情况． 参考答案： (Ⅰ) ，定义域为，    则．        因为，由得， 由得， 所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为．……….3分 (Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足   ， 所以对恒成立． 又当时， ， 所以的最小值为．  ………………….6分 (Ⅲ)由题意，方程化简得 +       令，则． 当时， ， 当时， ， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，最大值为．    所以  当， 即时， 的图象与轴恰有两个交点， 方程有两个实根， 当时， 的图象与轴恰有一个交点， 方程有一个实根，  当时， 的图象与轴无交点， 方程无实根．          ………………….12分 21. （本小题满分12分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：求数列{bn}的通项公式； (3)令 (n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式 ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. ∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n) 令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1② ①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1 ∴Hn＝。 ∴数列{cn}的前n项和Tn＝＋. 22. 设的内角、、的对边分别为、、，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 参考答案：      （2）∵，．          ∴          ∴，当且仅当时取“=” ．          ∴三角形的面积．          ∴三角形面积的最大值为．