2021-2022学年河北省保定市河北祁州中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果不等式和不等式有相同的解集，则
A． B． C． D．
参考答案：
C
由不等式可知，两边平方得，整理得，即。又两不等式的解集相同，所以可得，选C.
2. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为
(A) 120 cm2 (B)80 cm2 (C)100 cm2 (D)60 cm2
参考答案：
C
略
3. 在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
A
，
在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限，故选A.
4. 若，则在下列四组条件中，是的必要不充分条件的是
A． B．为双曲线，
C． D．
参考答案：
D
略
5. 若∈R，使aex≤x（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（ ）
A．
（﹣∞，0]
B．
C．
（﹣∞，1]
D．
（﹣∞，e]
参考答案：
B
6. 若函数f（x）=﹣lnx﹣（a＞0，b＞0）的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
参考答案：
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．
【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．
【解答】解：f（x）=﹣lnx﹣的导数为f′（x）=﹣?，
令x=1，可得切线的斜率为f′（1）=﹣，又f（1）=﹣，
则切线方程为y+=﹣（x﹣1），即ax+by+1=0，
∵切线与圆x2+y2=1相切，
∴=1，
∴a2+b2=1，
∵a＞0，b＞0
∴a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，
∴a+b≤=．
∴a+b的最大值是．
故选：D．
7. 下列函数中既是奇函数又是其定义域上的增函数的是（ ▲ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【分析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．
【解答】解：∵f（﹣x）==﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，
∴f（x）的图象关于原点对称，
故排除D；
易知f（）＞0，故排除B；
f（π）=0，故排除C；
故选A．
9. 设m, n，l表示不同直线,表示三个不同平面,则下列命题正确是 （ ）
A. 若m l，n⊥l，则m∥n B. 若m⊥,m∥，则⊥
C. 若⊥, ⊥，则∥ D. 若=m，=n，m∥n,则∥
参考答案：
B
10. 设集合，，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若等差数列满足,则当n= 时，的前n项和最大.
参考答案：
8
由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于0或者大于0，
故得到 符号相反，故 ，故数列中前8项大于0，从第九项开始小于0，故得到前8项的和最大。
故答案为：8.
12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则数列{an}的公差是________．
参考答案：
4
13. 设，向量，若，则_______.
参考答案：
14. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上翻折，使A，B重合，则形成的三棱锥的外接球的表面积为_______．
参考答案：
3π
15. 不等式的解集是_____.
参考答案：
【分析】
利用两边平方的方法，求出不等式的解集.
【详解】由两边平方并化简得，解得，故原不等式的解集为.
故答案为
【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，属于基础题.
16. 已知函数，则函数在点处的切线方程为_____________.
参考答案：
略
17. 已知是关于x的方程的两个根，则
．
参考答案：
【知识点】二倍角公式 同角三角函数基本关系式 韦达定理 C6 C2
解析：根据二倍角公式，可将已知式子化简为：，由韦达定理可得：，根据同角三角函数基本关系式可得：，即，解得，又因为，所以，所以，故答案为.
【思路点拨】由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得，再根据，确定值，利用二倍角公式将已知式子降角升幂化简为，即可求得.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： （1）利用向量的数量积和两角和的正弦公式即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．
解答： （1）∵（）
=﹣2sinxcosx+2cos2x
=﹣，
∴f（x）=1﹣．
（2）由（k∈Z）．
解得，
∵取k=0和1 且x∈[0，π]，得0和，
∴f（x）的单调递增区间为[0，]和[]．
点评： 本题考查了向量的数量积和两角和的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．
19. (14分)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
参考答案：
（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1。
（2）令a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
当x>0时，f(x)>1>0；当x<0时，-x>0，f(-x)>0。
∴，又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x∈R，f(x)>0。
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴
∴， ∴ f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)
又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0
∴ 0
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