2021年浙江省温州市永兴中学高一数学理期末试题含解析

2021年浙江省温州市永兴中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，5，6，7}，则A∩（?UB）等于(     ) A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4} D．{2，5} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合． 【分析】先由补集的定义求出?UB，再利用交集的定义求A∩?UB． 【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，6，7}， ∴?UB═{2，4}， 又集合A={2，4，6}， ∴A∩?UB={2，4}， 故选C． 【点评】本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合． 2. 已知集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,3｝,则A∩B= (       ) A.｛2｝        B.｛1,2｝         C.｛1,3｝       D.｛1,2,3｝ 参考答案： C 3. 函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】34：函数的值域；33：函数的定义域及其求法． 【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可． 【解答】解：设t=a﹣ax，则y=为增函数， 则函数y=（a＞0，a≠1）为单调函数， 当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1， 则当x=0时，y=1， 即y==1，即a﹣1=1，则a=2， 则loga+loga=loga（?）=log28=3， 故选：C． 4. 设的内角的对边分别为，若，则的形状是（  ） A.锐角三角形        B.等边三角形        C.直角三角形         D.等腰三角   参考答案： D 5. 的值是(         ) A．                   B．               C．               D．   参考答案： A 略 6. 已知全集且，则集合的真子集的个数为（   ）个 A．6     B．7     C．8     D．9 参考答案： B 略 7. 要得到y=sin（2x﹣）的图象，只要将y=sin2x的图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：将y=sin2x向右平移个单位得：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）， 故答案选：D． 8. 已知等比数列{}的首项为，公比为q，且有，则首项的取值范围是（      ）。 A                B  C                       D   参考答案： 解析：D。 ①时，，； ②且时  且，。选。   9. 下列各组函数是同一函数的是（   ） ①与；②与； ③与；       ④与 A．① ②       B．① ③          C．③ ④      D．① ④ 参考答案： 略 10. 已知等比数列的公比为正数，且，，则 A．           B．            C．           D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题： ①若垂直于内的两条相交直线，则⊥； ②若∥，则平行于内的所有直线； ③若，且⊥，则⊥； ④若，，则⊥； ⑤若，且∥，则∥； 其中正确命题的序号是                  ．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ④ 略 12. 若角的终边落在直线上，则=     。 参考答案： 略 13. 已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定_____ 参考答案： 不共线 14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为         .   参考答案： 略 15. 求经过点（4，-3）做圆的切线的方程____________. 参考答案： 或 圆 的标准方程为： 圆心坐标为（3，1），半径r=1， 若切线斜率k不存在， 则x=4，圆心到直线的距离d=4﹣3=1，满足条件． 若切线斜率k存在，则切线方程为y+3=k（x﹣4）， 即kx﹣y﹣3﹣4k=0， 则圆心到直线的距离d= =1， 解得k=﹣ ， 即圆的切线方程为 综上所述圆的切线方程为或x=4．   16. 在等比数列{an}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1=　     　． 参考答案： ﹣4 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解． 【解答】解：∵在等比数列{an}中，公比q=，S5=﹣， ∴==﹣， a1=﹣4． 故答案为：﹣4． 17. 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为          ． 参考答案：    [0,3)  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，，且， 求证：. 参考答案： 证明：作 由已知条件知：，所以 ，， 略 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，点B是x轴上一点，，△OAB的外接圆为圆C． (Ⅰ)求圆C的方程； (Ⅱ) 求圆C在点A处的切线方程． 参考答案： 解：(Ⅰ)设由得 ， ∵，∴圆以为直径， ， ． 圆的方程为． (Ⅱ)可得，则切线斜率． ∴过点的切线方程为：即．   20. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若c2=b2+a2，求B． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系． （Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA， 即sinB（sin2A+cos2A）=sinA ∴sinB=sinA， = （Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB= 由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2， 可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB= 所以B=45° 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化． 21. （12分）已知函数f（x）=aX，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且h（x）=g[（a﹣1）x+2]． （1）求h（x）的定义域； （2）当x∈[3，4]时，h（x）＞0恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据对数的意义得出（a﹣1）x＞﹣2，且a≠1，分类讨论求解不等式即可． （2）f（x）有意义得：，解得：a，根据函数的单调性分类讨论当时，②当a＞1时，求解即可． 解答： （1）∵函数f（x）=aX，（a＞0且a≠1），若函数g（x）的图象和函数f（x）的图象关于直线y=x对称 ∴g（x）=logax， ∵h（x）=g[（a﹣1）x+2]． ∴h（x）=loga（（a﹣1）x+2）， ∵（a﹣1）x+2＞0， ∴（a﹣1）x＞﹣2，且a≠1， ①当a﹣1＞0，即a＞1时，x， 定义域为（，+∞）， ②当，即0＜a＜1时，x， 综上；当a＞1时，定义域为（，+∞）， 0＜a＜1时，定义域为（﹣∞，） （2）当x∈[3，4]时，f（x）有意义得：， 解得：a， ①当时， 由h（x）＞0恒成立得：（a﹣1）x+2＜1，在x∈[3，4]上恒成立， ∴a恒成立，∴a ∴， ②当a＞1时， 由h（x）＞0恒成立得：：（a﹣1）x+2＞1，在x∈[3，4]上恒成立， ∴a， ∴a＞1， 综上：a∈（）∪（1，+∞）． 点评： 本题综合考查了函数的性质，运用最值，单调性求解不等式的恒成立问，属于中档题，难度不大． 22. 已知函数，，其中a为常数，且曲线在其与y轴的交点处的切线记为，曲线在其与x轴的交点处的切线记为，且． (1)求，之间的距离； (2)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围； (3)对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为两函数在处的偏差求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 参考答案： （1）（2）（3）见证明 【分析】 求出函数的导数，结合题意求出a的值，求出，的解析式，求出平行线间的距离即可；令，问题转化为，求出m的范围即可； 法一：令，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最小值，证明即可；法二：令，，令，；令，，根据函数的单调性证明即可． 【详解】，， 的图象与坐标轴的交点为， 的图象与坐标轴的交点为， 由题意得，即， 又， ，， 函数和的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： ，， 两平行切线间的距离为 由，得， 故在有解， 令，则， 当时，； 当时，， ， ，， ， 故， 即在区间上单调递减， 故，， 即实数m的取值范围为 解法一： 函数和的偏差为：，， ，设为的解，则 则当，；当，， 在单调递减，在单调递增， ， ，，， 故F， 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于 解法二： 由于函数和的偏差：，， 令，；令，， ，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，， ， 即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，不等式有解问题，考查新定义，正确求导，理解新定义是解题的关键，是难题