2021年河北省石家庄市井陉县第二中学高二数学理模拟试题含解析

2021年河北省石家庄市井陉县第二中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点F，作渐近线y=x的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为(    ) A．(1,2)        B．(1,)        C．(,+∞)        D．(2,+∞) 参考答案： C 2. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 p a   则X的数学期望E（x）=（   ） A.       B. 2    C.      D. 3 参考答案： A 3. 设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1=k2 D．不确定 参考答案： A 【考点】62：导数的几何意义． 【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小． 【解答】解：当自变量从0到0+△x时，k1==， 当自变量从到+△x时，k2== 当△x＞0时，k1＞0，k2＜0即k1＞k2； 当△x＜0时，k1﹣k2=﹣= ∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣， sin（△x﹣）+1＜0， ∴k1＞k2 综上所述，k1＞k2． 故选A． 4. 已知向量＝（0，2，1），＝（－1，1，－2），则·的值为（   ） A．0            B．1          C．3             D．4 参考答案： A 略 5. 设函数则不等式的解集是（    ） A、  B、 C、 D、 参考答案： D 考点：解不等式 6. 已知点分别为椭圆的右顶点与上顶点，点为线段的中点，若，则椭圆的离心率是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 略 7. 若函数的图像在x=1处的切线为，则上的点到圆上的点的最近距离是     A．         B．          C．          D．1 参考答案： C 8. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的的值是 (    ) A．      B．      C．     D．   参考答案： A 略 9. 若，则实数x的值为（　　） 　 A． 4 B． 1 C． 4或1 D． 其它 参考答案： C 考点： 组合及组合数公式．3804980 专题： 计算题． 分析： 直接利用组合数公式的性质列式求解x的值． 解答： 解：由，得①或② 解①得，x=1． 解②得，x=4． 所以x的值为4或1． 故选C． 点评： 本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题．   10. 一道数学选择题共有4个选项,其中有且只有一个选项为正确选项.已知某同学在数学测试中遇到两道完全不会的选择题(即该同学在其中任何一题选A,B,C,D的可能性均一样),则该同学这两题能够得分的可能性是(   ) A. B. C. D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知二次函数的导函数为，，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为_______ . 参考答案： 2 12. （5分）已知一个关于正整数n的命题P（n）满足“若n=k（k∈N*）时命题P（n）成立，则n=k+1时命题P（n）也成立”．有下列判断： （1）当n=2013时命题P（n）不成立，则n≥2013时命题P（n）不成立； （2）当n=2013时命题P（n）不成立，则n=1时命题P（n）不成立； （3）当n=2013时命题P（n）成立，则n≥2013时命题P（n）成立； （4）当n=2013时命题P（n）成立，则n=1时命题P（n）成立． 其中正确判断的序号是　  　．（写出所有正确判断的序号） 参考答案： （1）根据条件只有命题成立时，才能推导出下一个命题成立，当命题不成立时，则不一定成立，所以（1）错误． （2）若n=1时，命题P（n）成立，则一定能推出当n=2013时命题P（n）成立，与当n=2013时命题P（n）不成立，所以（2）正确． （3）根据条件可知当n=2013时命题P（n）成立，则n≥2013时命题P（n）成立． （4）当n=2013时命题P（n）成立，只能推出n≥2013时命题P（n）成立，无法推出n=1时命题P（n）是否成立． 所以正确的是（2）（3）． 故答案为：（2）（3）． 利用归纳法的证明过程进行推理判断． 13. 若，则等于10　　． 参考答案： 10       14. 设随机变量的分布列为,则的值为        ． 参考答案： 略 15. 若集合,,则=_________ 参考答案： 16. 已知，，，….，类比这些等式，若（均为正实数），则=    ▲   ． 参考答案： 41 略 17. 命题p：?∈R，，则命题p的否定为__________________．　 参考答案： ?∈R， 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，F1在以为圆心，1为半径的圆C2上，且|QF1|+|QF2|=2a． （1）求椭圆C1的方程； （2）过点P（0，1）的直线l1交椭圆C1于A，B两点，过P与l1垂直的直线l2交圆C2于C，D两点，M为线段CD中点，求△MAB面积的取值范围． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）圆C2的方程为（x+）2+（y﹣1）2=1，由此圆与x轴相切，求出a，b的值，由此能求出椭圆C1的方程． （2）设l1：x=t（y﹣1），则l2：tx+y﹣1=0，与椭圆联立，得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0，由此利用弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出△MAB面积的取值范围 【解答】解：（1）圆C2的方程为（x+）2+（y﹣1）2=1，由此圆与x轴相切，切点为（，0），∴c=， 且F1（﹣，0），F2（，0），又|QF1|+|QF2|=3+1=2a． ∴a=2，b2=a2﹣c2=2，∴∴椭圆C1的方程为：． （2）当l1平行x轴的时候，l2与圆C2无公共点，从而△MAB不存在； 设l1：x=t（y﹣1），则l2：tx+y﹣1=0． 把x=t（y﹣1）代入椭圆C1：．得（t2+2）y2﹣2t2y+t2﹣4=0， y1+y2=，y1y2=， 则|AB|=|y1﹣y2|=， 又圆心Q到l2的距离d12=?t2＜1． 又MP⊥AB，QM⊥CD ∴M到AB的距离即Q到AB的距离，设为d2，d2=． ∴△MAB面积S=|AB|?d2=． 令u=，∴s=f（u）==∈（]． ∴△MAB面积的取值范围为（]． 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，注意弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．属于中档题． 19. (本题满分9分)如图，已知平行四边形所在平面外的一点，分别是的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若4， ，求异面直线,所成角的大小.   参考答案： （1）点连，为的中点，得. 为的中点.得.为平行四边形. ， （2）连并取其中点，连 ， 。 由题意知， ，即异面直线的夹角为 20. 已知函数f（x）=lnx． （1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值； （2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围； （3）若x1＞x2＞0，求证：＞． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求． （2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围． （3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞． 【解答】解：（1）∵f（x）=lnx， ∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1， ∴． 当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增； 当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0． （2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立， ∴在x＞0上恒成立， 进一步转化为， 设h（x）=，则， 当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0， ∴h（x）． 要使f（x）≤ax恒成立，必须a． 另一方面，当x＞0时，x+， 要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2， ∴满足条件的a的取值范围是[，2]． （3）当x1＞x2＞0时，＞等价于． 令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1 则＞0， ∴u（t）在（1，+∞）上单调递增， ∴u（t）＞u（1）=0， ∴＞． 21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点. （1）证明：BC1∥平面A1CD； （2）若AC=CB，求证：A1D⊥CD. 参考答案： 证明：（1）如图，连接，交于点，连结. 据直三棱柱性质知四边形为平行四边形，所以为的中点. 又因为是的中点，所以.………………2分 又因为平面，平面， 所以平面.………………4分 （2）因为，为的中点，所以.………………5分 据直三棱柱性质知平面，又因为平面，所以. 又因为，平面， 所以平面，………………11分 又因为平面，所以，即.………………12分   22. 若实数满足，则称， （1）若的取值范围。 （2）对任意两个不相等的正数，证明： 参考答案： （1）由题意得，即 的取值范围是 （2）当是不相等的正数时 又