2021年江苏省盐城市东台三仓中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年江苏省盐城市东台三仓中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）=+lnx 则     （    ） A．x=为f(x)的极大值点                   B．x=为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点                   D．x=2为 f(x)的极小值点 9. 参考答案： D. ，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选D. 2. 函数的图像可能是              (    ) A   B     C   D 参考答案： A 略 3. 下列结论中正确的个数是（    ）． ①在△ABC中，若，则△ABC是等腰三角形； ②在△ABC中，若 ，则 ③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使 ④等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 参考答案： B 【分析】 对每个命题逐一检验其正确性: ①：若，则或； ②:转化为证明其逆否命题：在△ABC中，若，则，结合正弦函数单调性可证； ③：若，不合命题的充要性，命题为假； ④：常数列不合题意. 【详解】对于①：若，则或，即或 即△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确； 对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在△ABC中，若，则 当时，由正弦函数单调递增可得； 当时，， 所以原命题成立，所以该命题正确； 对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确； 对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确， 综上：只有一个正确. 故选：B 【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高. 4. 已知函数，设，若，则的取值范围是(   ) A．         B．       C．       D． 参考答案： C 略 5. 若点在函数的图象上，则的值为 A. B. C. D. 参考答案： D 略 6. 对于实数，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若且，则. 正确的个数为 A．1              B．2            C．3             D．4 参考答案： D 7. （5分）（2011?沈阳二模）已知图象不间断的函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．如图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择： ①f（a）f（m）＜0；②f（a）f（m）＞0； ③f（b）f（m）＜0；④f（b）f（m）＞0 其中能够正确求出近似解的是（　　） 　 A． ①③ B． ②③ C． ①④ D． ②④ 参考答案： C 【考点】： 循环结构． 【专题】： 常规题型． 【分析】： 利用二分法求方程近似值的步骤，得到满足什么条件时将b赋值与m；得到判断框中的条件． 【解答】： 解：据二分法求方程近似解的步骤知 当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，令b=m 当f（m）f（b）＜0即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，令a=m 由框图得到当满足判断框中的条件时将b=m 故判断框内的条件为f（m）f（a）＜0或f（m）f（b）＞0 故选C 【点评】： 本题考查由实际问题何时将出现将b的值赋给m，即程序框图中需要的条件． 8. 集合＞则下列结论正确的是 A.           B. C.            D. 参考答案： D 9. 已知集合，集合，则为 A. B. C. D. 参考答案： C 略 10. 已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 【解答】解：作图 易知可行域为一个三角形， 其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2）， 验证知在点（1，0）时取得最大值2 当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2， 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数z=，则=　　． 参考答案： 1+2i 考点： 复数的基本概念．  专题： 计算题． 分析： 利用两个复数代数形式的除法，求出复数z的代数形式，即可得到． 解答： 解：∵复数z====1﹣2i，∴=1+2i， 故答案为：1+2i． 点评： 本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是                       ． 参考答案：     13. 某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元. 参考答案： 10 略 14. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是          参考答案： 略 15. 函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________． 参考答案： (1，＋∞) 14．已知函数______________. 【答案】3  由   16. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为 ．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2﹣b2=4，代入“三斜求积”公式即可计算得解． 【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA，可得：ac=4， 由于（a+c）2=12+b2，可得：a2+c2﹣b2=4， 可得： ==． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 　 17. 已知a，b均为正数，且，的最小值为________. 参考答案： 【分析】 本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值以及此时P的直角坐标. 参考答案： （1）：，：；（2），此时. 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. 【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 19. （本小题满分12分） 数列{an}的前n项和，数列{bn}满足 （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；   （2）求的前n项和. 参考答案： 解：（1）时 当时 由     ………………………………………….. 6分 （2） 2                ……………………………….. 12分   20. (本小题满分14分)设向量a，b，其中． （1）若，求的值； （2）设向量c，且a + b = c，求的值． 参考答案： （1）因为a，b，所以． 因为，所以a·b = 0． 于是，故． （2）因为a + b ， 所以      由此得，由，得， 又，故． 代入，得． 而，所以． 21. （本小题满分14分） 设数列的前项和为，满足，，且成等比数列． （1）求，，的值； （2）令，求数列的通项公式； （3）证明：对一切正整数，有…． 参考答案： （1），，；（2），；（3）略. 试题分析：对于第一问，可以根据题中的条件，找到关于的等量关系，从而求出的值，对于第二问，注意根据和与项的关系，类别着再写一个，两式相减，可以得出数列的相邻两项之间的递推关系式，对所得的式子进行变形，转化成目标数列的相邻两项的关系，再应用累加法求得结果，也可以应用某些项所满足的关系，猜想数列的通项公式，之后应用数学归纳法证明即可，对于第三问，根据第二问求得数列的通项公式，之后应用裂项相消法求和，之后应用不等式的性质即可得结果. 试题解析：（1）由已知，得     　…………………………………………2分 解之，得，，．     　………………………………………4分 （2）（法1）因为，， ……① 所以，其中．       ……② 1         ②并整理得，，     　……………………………6分 即，． 所以，相加，得．  　……………………8分 由（1）知，所以，所以时，，   　……………9分 又，也符合上式， 所以，数列的通项公式为，．    　……………………10分 （法2）因为，，    ……① 所以，其中．       ……② 1         ②，并整理得，，    即，．     　……………………………………………………6分 由（1）知，，． 可得，，． 猜想，． 　…………………………………………………………8分 以下用数学归纳法证明之： （i）当时或时，猜想显然正确． （ii）假设（）时，猜想正确，即． 那么时， 即时，猜想也正确． 由（i）（ii），根据数学归纳法原理，对任意的，猜想正确． 所以，数列的通项公式为，． 　…………………………10分 （3）对一切正整数，因为， 　…………12分 所以，…… … ．        　………………………………………14分 考点：等比数列的定义，处理与的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 22. 已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）求函数f（x）单调区间； （Ⅱ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求导数，