2021年广东省汕头市蓝天中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年广东省汕头市蓝天中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值为(　　) A. 1        B. 2      C．0        D. 参考答案： B 略 2. 如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（　　） A．i≤1009 B．i＞1009 C．i≤1010 D．i＞1010 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值． 【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第一次循环：S=0+1，i=1， 第二次循环：S=1+，i=2， 第三次循环：S=1++，i=3，… 依此类推，第1009次循环：S=1+++…+，i=1010，此时不满足条件，退出循环 其中判断框内应填入的条件是：i≤1009， 故选：A． 【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 3. 下列说法正确的个数是（    ） ①“若a+b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ② 命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题 ③“”的否定是“” ④a+1＞b是a＞b的一个必要不充分条件 A．0          B．1          C．2         D．3 参考答案： C 对于①，原命题的逆命题为：若中至少有一个不小于，则，而满足中至少有一个不小于，但此时，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设，若且，则”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“”的否定是“”，故③是假命题；对于④，由可推得，故④是真命题，故选C． 4. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（   ） A．0               B．1009            C．2017             D．2018 参考答案： B 详解：∵，∴，即，又，∴，∴， ∴ ． 故选B．   5. 已知向量=（1，0），=（0，1），则下列向量中与向量2+垂直的是（　　） A． + B．﹣ C．2﹣ D．﹣2 参考答案： D 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】根据坐标运算求出2+和﹣2的坐标，计算即可． 【解答】解： =（1，0），=（0，1）， 则2+=（2，1）， 而﹣2=（1，﹣2）， 故（2+）（﹣2）=0， 故选：D． 6. （5分）已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（　　） 　 A． B． C． D． 3 参考答案： B 【考点】： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【专题】： 计算题；压轴题． 【分析】： 先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率． 解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0）， ∴c=2，a2=4﹣1=3， ∴e=． 故选B． 【点评】： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要抛物线的性质进行求解． 7. 已知为虚数单位，复数满足，且，则（   ） A．2或－4         B．－4       C．2       D．±4 参考答案： A 8. 函数的最小正周期为π，则该函数图象 （A）关于直线对称                               （B）关于直线对称 （C）关于点对称                                  （D）关于点对称   参考答案： D 略 9. 已知函数y=，那么(     ) A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞） B．函数的单调递减区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞） C．函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（1，+∞） D．函数的单调递增区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞） 参考答案： A 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，由y=的单调性可得． 【解答】解：函数y=可看作y=向右平移1个单位得到， ∵y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减， ∴y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）单调递减， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性，利用已知函数的单调性和图象平移是解决问题的关键，属基础题． 10. 设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为(   )          A．                      B．                       C．                D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）. ②若AsinB>BsinA，则B＞A ③存在某钝角，有； ④若，则的最小角小于； ⑤若，则. 参考答案： ①④⑤ 12. 用数学归纳法证明时，当时，其形式是        参考答案： 13. 若，则实数的取值范围是           。 参考答案： 14. 函数在区间上为减函数，则的取值范围为      参考答案： 15. 已知关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是          参考答案： 16. 已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为　　． 参考答案： （﹣2，1） 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质． 【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可． 【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数， 当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数， 该函数连续，则函数f（x） 是定义在R 上的增函数 ∵f（2﹣a2）＞f（a）， ∴2﹣a2＞a 解得﹣2＜a＜1 实数a 的取值范围是（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 17. 一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球，一次摸出5个球，在已知它们的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率是          。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ） 若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值； （Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为， 由正弦定理， 得．… （Ⅱ） 由得，， 由得，， 则， 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA， 化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）． 所以．   … 19. （13分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求cosA+cosB的最大值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小． （Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2 由余弦定理：cosC==， ∵0＜C＜π， ∴C=． （Ⅱ）∵A+B+C=π，C=． ∴B=，且A∈（0，）． 那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（）， ∵A∈（0，）． ∴， 故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1． 【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题． 　 20. （13分）在测试中，客观题难度的计算公式为Pi=，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数． 现对某校髙三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （I）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数           实测难度           （Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）定义统计量S=[（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣Pn）2]，其中P′i为第i题的实测难度，Pi为第i题的预估难度（i=l，2，…，n），规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（I）根据题中数据，统计各题答对的人数，进而根据Pi=，得到难度系数； （Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可得从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （Ⅲ）由S= [（P′1﹣P1）2+（P′2﹣P2）2+…+（P′n﹣Pn）2]计算出S值，与0.05比较后，可得答案． 【解答】解：（I）根据题中数据，可得抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 估计120人中有120×0.2=24人答对第5题 （Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人， 共有=10种不同的情况， 其中恰好有1人答对第5题的有=6种不同的情况， 故恰好有1人答对第5题的概率P==； （Ⅲ）由题意得：S= [（0.8﹣0.9）2+（0.8﹣0.8）2+（0.7﹣0.7）2+（0.7﹣0.6）2+（0.2﹣0.4）2]=0.012＜0.05， 故该次测试的难度预估合理． 【点评】本题考