2022-2023学年浙江省温州市台北立建国中学高一数学理月考试题含解析

2022-2023学年浙江省温州市台北立建国中学高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数是奇函数，若，则m的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由题意首先求得m的值，然后结合函数的性质求解不等式即可. 【详解】函数为奇函数，则恒成立， 即恒成立，整理可得：， 据此可得：，即恒成立， 据此可得：.函数的解析式为：， ， 当且仅当时等号成立，故奇函数是定义域内的单调递增函数， 不等式即， 据此有：，由函数的单调性可得：， 求解不等式可得的取值范围是. 本题选择C选项. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 2. 设集合, 则满足的集合的个数是(     )                                                         参考答案： C 略 3. 某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（　　） A．5，10，15 B．3，9，18 C．3，10，17 D．5，9，16 参考答案： B 【分析】求出样本容量与总容量的比，然后用各层的人数乘以得到的比值即可得到各层应抽的人数． 【解答】解：由 =， 所以，高级职称人数为15×=3（人）； 中级职称人数为45×=9（人）； 一般职员人数为90×=18（人）． 所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为3，9，18． 故选B． 【点评】本题考查了分层抽样，在分层抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，此题是基础题． 4. 已知全集,集合,,则(     ) A.         B.         C.          D. 参考答案： D 略 5. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】几何概型． 【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论． 【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为， ∴所求概率为=． 故选：B． 6. 空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为（  ） A．   B．   C．    D． 参考答案： C 7. 定义域为的奇函数满足，当时，，则等于（   ） （A）   （B）0    （C）1     （D）2 参考答案： A 略 8. 函数的最大值与最小值之和为（      ） A．　　　    B．　　　    C．0　　　     D． 参考答案： B 9. 若样本的频率分布直方图中一共有n个小矩形，中间一个小矩形的面积等于其余n－1个小矩形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数是(　　) A．32  B．20  C．40  D．25 参考答案： A 略 10. 我国古代数学发展一直处世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是（　） Ａ．割圆术 Ｂ．更相减损术 Ｃ．秦九韶算法 Ｄ．孙子剩余定理 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　 　． 参考答案： 5 【考点】函数的值． 【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3， f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5． 故答案为：5． 　 12. 函数的定义域为               参考答案：     13. 已知集合，，设集合同时满足下列三个条件： ①； ②若，则； ③若，则． （）当时，一个满足条件的集合是__________．（写出一个即可） （）当时，满足条件的集合的个数为__________． 参考答案： （）或，或或；（） （）易知时，， 由条件易知：当，则， ∴，则， 即，元素与集合的关系无法确定． 故，或， 当，则，，但元素与集合关系无法确定， 故，或． （）时，， 由条件易知，必需属于，此时属于的补集； 或，必须同时属于，此时属于； 属于时，； 属于时，； 而元素，没有限制， 故满足条件的集合共有个． 14. 已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________. 参考答案： 15. 计算 =　　． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】将切化弦，通分，利用和与差公式换化角度相同，可得答案． 【解答】解：由﹣====． 故答案为：． 　 16. 已知函数，若当时，，则实数的取值范围是___________ 参考答案： 17. 在函数y = 2sin(4x+)图象的对称中心中，离原点最近的点的坐标是___________． 参考答案：          三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数（其中a，b均为常数，）的图象经过点(2,5)与点(8,7). (1)求a，b的值； (2)设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数m的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）由已知得，                                   ………2分 消去得，即，又，， 解得.                                                 ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的解析式为.                  .………5分.                                             ………6分 当时，函数单调递增，其值域为； ………7分 令，当时，， 于是.                ………8分 设函数，则函数的值域为，    ………9分 根据条件知，于是，解得. 所以实数的取值范围为.                                    ………12分 19. 二次函数满足条件： ①当时,的图象关于直线对称； ② ； ③在上的最小值为； （1）求函数的解析式； （2）求最大的，使得存在，只要，就有． 参考答案： 解：（1）∵的对称轴为， ∴= –1即………………1分 又，即…………………………2分 由条件③知：，且，即……………………3分 由上可求得……………………4分 ∴…………………………5分． 即1，m是的两根，…………………………9分 由1是的一个根，得 ，解得，或…11分 把代入原方程得(这与矛盾)………………12分 把代入原方程得，解得  ∴……13分 综上知：的最大值为9．……………………14分 20. 对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.    （1）当a=2，b=－2时，求的不动点；    （2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围. 参考答案： 略 21. 已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1． （Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率． （Ⅱ）设点（a，b）是区域 内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率． 参考答案： 【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率． （Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为 P=，运算求得结果． 【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且2b≤a． （Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个， 所以，所求概率．… （Ⅱ）如图，求得区域的面积为． 由，求得 所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为． 所以，所求概率． 22. 某家具厂有方木料90m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料0.l m3，五合板2 m2，生产每个书橱而要方木料0.2 m2，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. （1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？ （2）怎样安排生产可使所得利润最大？ 参考答案： (1) 只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元；(2) 生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大 【分析】 （1）设只生产书桌x个，可获得利润z元，则，由此可得最大值； （2）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元． 则 ，，由线性规划知识可求得的最大值．即作可行域，作直线，平移此直线得最优解． 【详解】由题意可画表格如下：   方木料（） 五合板（） 利润（元） 书桌（个） 0.1 2 80 书橱（个） 0.2 1 120   (1)设只生产书桌x个，可获得利润z元， 则， ∴    ∴ 所以当时，(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元 (2)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元． 则 ，∴ 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域 作直线，即直线． 把直线l向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M， 此时取得最大值 由解得点M的坐标为. ∴当，时，(元)． 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大 所以当，时，． 因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 【点睛】本题考查简单的线性规划的实际应用，解题时需根据已知条件设出变量，列出二元一次不等式组表示的约束条件，列出目标函数，然后由解决线性规划的方法求最优解．