2022-2023学年河南省新乡市七里营中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年河南省新乡市七里营中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，,,则（    ） A．     B．     C．    D． 参考答案： B 因为，，所以,所以，选B. 2. 若复数满足为虚数单位），则（    ） A．   B．3   C．4   D．5 参考答案： D 3. 设函数f（x）为偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则f（﹣）=(     ) A．﹣ B． C．2 D．﹣2 参考答案： B 考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据f（x）为偶函数，以及x＞0时f（x）的解析式即可得到f（﹣）=． 解答： 解：f（x）为偶函数； ∴f（）=f（） 又x＞0时，f（x）=log2x； ∴=； 即f（﹣）=． 故选B． 点评：考查偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），以及对数的运算． 4. 下列命题中是假命题的是（　　） A．?a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgb B．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数 C．?α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ D．?m∈R，使f（x）=（m﹣1）?是幂函数，且在（0，+∞）上递减 参考答案： A 考点： 命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．  专题： 简易逻辑． 分析： 利用反例判断A的正误；通过特殊值判断B的正误；特殊值判断C的正误；利用幂函数的定义判断D的正误； 解答： 解：?a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以A不正确． ?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，当φ=时，函数是偶函数，所以B正确． ?α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ，例如α=，β=，等式成立，所以C正确； ?m∈R，使f（x）=（m﹣1）?是幂函数，且在（0，+∞）上递减，m=2时函数是幂函数，f（x）=x﹣1．满足题意，正确． 故选：A． 点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用． 5. 若f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是(　) (A)(0,3) (B)(0,3] (C)(0,2) (D)(0,2] 参考答案： D 略 6. 复数满足，则复数的实部与虚部之差为（  ） A． B．       C．     D． 参考答案： D 略 7. 设曲线f（x）=在点P（x，f（x））处的切线在y轴上的截距为b，则当x∈（1，+∞）时，b的最小值为（　　） A．e B． C． D． 参考答案： D 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值． 【解答】解：函数的导数f′（x）==， 则点P（x，f（x））处的切线斜率k=f′（x）=， 则切线方程为Y﹣=（X﹣x）， 令X=0，则Y=?（﹣x）+， 即b=?x+=， 则b′===， 当x＞1时，lnx＞0， 由b′=＜0得1＜x＜e2，此时函数单调递减， 由b′=＞0得x＞e2，此时函数单调递增， 故当x=e2时，函数取得极小值同时也是最小值，此时b==， 故选：D 【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，主要考查运用导数判断单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键． 8. 设是等差数列的前项和，已知，则等于  A．13              B．35               C．49             D．63     参考答案： C 在等差数列中，，选C. 9. 设为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A．第四象限         B．第三象限 C．第二象限         D．第一象限 参考答案： B 10. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 A.             B.                        C.                      D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 2019年3月2日，昌平 “回天”地区开展了7种不同类型的 “三月雷锋月,回天有我”社会服务活动. 其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展， 3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展 . 小王参加了两种不同的活动，且分别安排在上、下午，那么不同安排方案的种数是___________. 参考答案： 18 【分析】 由题意利用分类加法计数原理和排列组合相关结论可得不同安排方案的种数. 【详解】小王参加的是两种不同的活动，有2种活动既在上午开展、又在下午开展， （1）设小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝6种方案； （2）设小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动， （a）上午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝4种方案； （b）下午参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有：＝6种方案； （c）上下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有：＝2种方案； 所以，不同的安排方案有：6＋4＋6＋2＝18种. 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理，分步乘法计数原理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 二项式的展开式中，的系数为  ▲  .（用数字作答） 参考答案：    略 13. 已知与，若两直线平行，则的值为 参考答案： 答案：  解析： 14. 某程序框图如图所示，若输入的，则输出的结果是         ． 参考答案： 5 略 15. 幂函数的图象过点，则的解析式是           ； 参考答案： 16. 已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则       ． 参考答案： 4 17. 定义在上的函数满足.若当时.,则当    时,=________________.  参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ex﹣，a，f（x）为实数． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间； （2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案， （2）设极值点为x0，则极值为f（x0）=﹣，多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=ex﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴f′（x）=ex+， ∵a＞0， ∴f′（x）=ex+＞0恒成立， ∴f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增， （2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，函数无极值点， 当a＜0时， ∵f（x）在（0，+∞）上存在极值点， ∴f′（x）=ex+= 设g（x）=x2ex+a， 则g′（x）=xex（2+x）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）＞g（0）=a＜0， 设极值点为x0，则极值为f（x0）=﹣， 由g（x0）=0，得a=﹣x02e． ∴f（x0）=﹣=（x0+1）e． 令h（x）=（x+1）ex， ∴h′（x）=（x+2）ex， ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增， 而f（x0）=﹣=（x0+1）e＞ln4+2=2（ln2+1）=（ln2+1）eln2， ∴x0＞ln2， 令φ（x）=﹣x2ex， ∴x0＞ln2时吗，φ（x）=﹣xex（2+x）＜0， ∴φ（x）单调递减， ∴a＜﹣（ln2）2eln2=﹣2ln22， ∴a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln22）． 19. （本题满分14分） 设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且． （1）求该抛物线的标准方程. （2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值． 参考答案： 解：（1）∵　·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分 又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得 ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2　 --------------------------3分 又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1． 所以抛物线的方程为: ------------5分 （2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a　　 联立方程组　 　　　　　　　　　 消去x得y2－2my－2a＝0　　　　　　　　　 ∴　      ①　--------------------------------7分 设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)， 同理可知   ②　　　--------------------------9分 　　由①、②可得 由题意，Q为线段RT的中点，∴　y3＝2y2，∴b=2a 又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得 －2a＝－4 　　∴　　a＝2．故b＝4．----------------------11分 ∴ ∴ .        当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值--------------------14分 20. 已知λ∈R，函数f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的导数为g（x）． （1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）若函数g（x）存在极值，求λ的取值范围； （3）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求λ的最大值． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0，得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0． （2）g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx（x＞0），g′（x）=，函数g（x）存在极值，即方程有正实数根，?λ=xex，（x＞0），可得λ的取值范围． （3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0，结合（2）分λ≤e，λ＞e，讨论x≥1时，是否f（x）≥0恒成立，即可． 【解答】解：（1）f（x）=ex﹣ex﹣λ（xlnx﹣x+1）的定义域为（0，+∞）． f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，f′（1）=0，又f（1）=0． 曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=0． （2）∵g（x）=f′（x）=ex﹣e﹣λlnx，（x＞0），g′（x）= 函数g（x）存在极值，即方程有正实数根， ?λ=xex，（x＞0）， 令G（x）=xex，G′（x）=x（ex+1）＞0在（0，+∞）恒成立． x∈（0，+∞）时，G（x）＞0， ∴函数g（x）存在极值，λ的取值范围为（0，+∞）． （3）由（1）、（2）可知f（1）=0，f′（1）=g（1）=0 结合（2）x≥1时，g′（x）=≥0，可得λ≤xex，（x≥1）， G（x