2022年北京垂杨柳中学高三数学文测试题含解析

2022年北京垂杨柳中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数的实部是，虚部是，其中为虚数单位，则在复平面对应的点在 A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限       D．第四象限 参考答案： C 略 2. 抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于四点，则的值为（   ） A．       B．1       C. 2        D．4 参考答案： B 3. 已知||=2，||=1，与的夹角为60°，则（+2）（﹣3）的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量数量积的定义，计算即可． 【解答】解：||=2，||=1，与的夹角为60°， 则（+2）（﹣3）=﹣?﹣6 =22﹣2×1×cos60°﹣6×12 =﹣3． 故选：B． 　 4. 已知集合，则集合M与集合N的关系是（    ） A． B．N C．NM D． 参考答案： C 略 5. 函数的图象关于（   ） A．原点对称                                     B．轴对称 C．直线对称                              D．直线对称 参考答案： A 考点：三角函数的图象和性质的运用. 6. 某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n的值为 A．3   B．4    C．5   D．6 参考答案： B 7. （5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为（　　） 　 A． ﹣8 B． ﹣7 C． ﹣6 D． 0 参考答案： B 【考点】： 分段函数的应用． 【专题】： 计算题；数形结合；函数的性质及应用． 【分析】： 化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和 解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2， 则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示： 由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t （0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7． 故选：B． 【点评】： 本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题． 8. 已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与x轴垂直，,则E的离心率为 （A）      （B）   （C）     （D）2 参考答案： A 离心率，由正弦定理得． 故选A．   9. 已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　） A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 参考答案： C 【考点】1D：并集及其运算． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}， B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}， ∴A∪B={0，1，2，3}． 故选：C． 10. 集合，集合，则（    ） A.         B.           C.           D. 参考答案： B 集合B化简为，依题可见选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x、y、z?R+，若xy + yz + zx = 1，则x + y + z的取值范围是__________ 参考答案： 略 12. 已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为        ． 参考答案： 【考点】函数单调性的性质． 【专题】计算题． 【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0， 函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立， 所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立， 所以， 所以﹣2m≤﹣1 所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数． 故答案为． 【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题 13. 设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为____． 参考答案： 14. （选修4—1：几何证明选讲） 如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连结BC并延长交圆O于点D，则CD=      ． 参考答案：   15. 设（是虚数单位），则=_____________. 参考答案： i 略 16. 我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为____________________. 参考答案： ； 17. 已知数列的前项和为，，，则          . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的图象的对称轴为． （1）求不等式的解集； （2）若函数f(x)的最小值为M，正数a，b满足，求的最小值． 参考答案： （1）；（2）． （1）∵函数的对称轴为，∴， ∴． 由，得或或， 解得或，故不等式的解集为． （2）由绝对值不等式的性质，可知， ∴，∴， ∴． （当且仅当时取等号）． 19. （本题满分10分）已知曲线 (t为参数)， (为参数)． （Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于两点，求． 参考答案： ⑴ 曲线为圆心是，半径是1的圆． 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分 ⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则 所以. ……………………………10分 20. （本小题满分14分）已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行. （1）求的值；   （2）已知实数t∈R，求函数的最小值； （3）令，给定，对于两个大于1的正数， 存在实数满足：，，并且使得不等式 恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解: 图象与轴异于原点的交点， 图象与轴的交点， 由题意可得，即，               …………2分 ∴，            …………………3分   =………4分 令，在 时，， ∴在单调递增，          ……………5分 图象的对称轴，抛物线开口向上 ①当即时，           …………6分 ②当即时，…………7分 ③当即时，      …… …………………8分 , 所以在区间上单调递增      　　……………………9分 ∴时， ①当时，有， ， 得，同理，　　……………１０分 ∴ 由的单调性知    、 从而有，符合题设.    ……………11分 ②当时，， ， 由的单调性知 ， ∴，与题设不符………12分 ③当时，同理可得， 得，与题设不符.          ……………13分 ∴综合①、②、③得          …………14分 21. 命题P：存在实数x，x2﹣2cx+c＜0；命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】关于命题P：存在实数x，x2﹣2cx+c＜0，即存在实数x，使得（x﹣c）2＜c2﹣c即可，只需c2﹣c＞0，解得c范围．命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0，化为2c＞x﹣|x﹣1|，令f（x）=x﹣|x﹣1|=，可得f（x）≤1．即可得出c的取值范围．若P或Q为真，P且Q为假，P与Q必然一真一假． 【解答】解：关于命题P：存在实数x，x2﹣2cx+c＜0， 即存在实数x，使得（x﹣c）2＜c2﹣c即可， ∴只需c2﹣c＞0，解得：c＜0或c＞1， ∴P真：c＜0或c＞1； 命题Q：|x﹣1|﹣x+2c＞0， 化为2c＞x﹣|x﹣1|， 令f（x）=x﹣|x﹣1|=， ∴f（x）≤1． ∴2c＞1，解得c． 若P或Q为真，P且Q为假， ∴P与Q必然一真一假． ∴或， 解得c＜0或． 因此c的取值范围是． 22. 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于两点，连接，求的面积的最大值． 参考答案： （1）由题意可设椭圆方程为，则， 故，所以，椭圆方程为； （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0， 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设， 由，消去得， 则，将式子中的换成，得：， 设，则， 故，取等条件为，即， 即，解得时，取得最大值．