2022年四川省雅安市天全县中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年四川省雅安市天全县中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f(x)=·sinx，则=(   ) A.+cos1    B. sin1+cos1    C. sin1-cos1    D.sin1+cos1 参考答案： B 2. 以下命题中真命题的序号是（　　） ①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； ④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆． A. ①④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 参考答案： A 【分析】 利用棱柱，棱锥和球的有关概念对命题进行判断即可. 【详解】①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，只有平行于底面的平面截棱柱分成的两部分一定是棱柱，正确. ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故不正确； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故不正确； ④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确． 综上可得：只有①④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查棱柱，棱锥的定义、球的性质，属于基础题. 3. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围为（  ） A．      B．     　 C．　　 D． 参考答案： B 4. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 (    ) A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： D 略 5. 过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B，则|AB|= A． B. C. 1 D. 2 参考答案： D 6. 已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形为平行四边形，轴，为边的中点，则平行四边形的面积为（  ） A. 8 B. 16 C. D. 参考答案： C 【分析】 由几何体的三视图可得， ，再由斜二测画法求面积即可得解. 【详解】解：由正视图与题意知，由侧视图与题意知，所以平行四边形的面积为. 故选C. 7. 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点（﹣2，3），则它的方程是（　　） A．x2=﹣y或y2=x B．x2=y C．x2=y 或 y2=﹣x D．y2=﹣x 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设出抛物线方程，利用已知条件化简求解即可． 【解答】解：抛物线的焦点坐标在x轴时，设抛物线方程为：y2=2px，抛物线过点（﹣2，3）， 可得p=，此时的抛物线方程为：y2=﹣x． 当抛物线的焦点坐标在y轴时，设抛物线方程为：x2=2py，抛物线过点（﹣2，3）， 可得p=，此时抛物线方程为：x2=y． 故选：A． 8. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　) A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n             B.若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β             D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 参考答案： D 9. 在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为                (     )      A          B          C          D      参考答案： C 略 10. 设是虚数单位，若复数满足，则(   ). （A）       （B）      （C）      （D） 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若A(－3，y0)是直线l：x－y－a＝0(a<0)上的点，直线l与圆C：x2＋y2－2x＋4y－5＝0相交于M，N两点。若△MCN为等边三角形，过点A作圆C的切线，切点为P，则|AP|＝     。 参考答案： 12. 已知函数f(x)及其导数，若存在，使得，则称是f(x) 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数是________.（写出所有正确的序号） ①，②，③，④，⑤ 参考答案： ①③⑤ 13. 已知函数，则 参考答案： 2 略 14. 函数的值域为 ． 参考答案： 略 15. 在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互相独立.则至少有一个项目成功的概率为_______． 参考答案： 【分析】 首先求出对立事件的概率，根据对立事件概率公式求得结果. 【详解】记事件为“至少有一个项目成功”，则 本题正确选项： 【点睛】本题考查对立事件概率的求解问题，属于基础题. 16. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为         ． 参考答案： 或 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形， 当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=； 当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=， 综上所求圆柱的体积是：或． 故答案为：或； 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误． 17. 已知关于的一元二次不等式的解集为，若，则的取值范围是    ▲       . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14）已知函数. (Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率； (Ⅱ)求的单调区间；  （Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ)由已知， .故曲线在处切线的斜率为.                    (Ⅱ).                    （Ⅲ）由已知，转化为.  , 由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)      当时，在上单调递增，在上单调递减， 19. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程的概念． 【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2． ∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．① 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，② 即（x﹣2）2+y2=4． 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上， ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ， ∴1﹣a2=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． 　 20. 为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线． （1）求灯罩轴线所在的直线方程； （2）若路宽为10米，求灯柱的高． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）求出A的坐标，设点A处的切线方程，代入抛物线方程，求出斜率，即可得出灯罩轴线所在的直线方程； （2）求出FD，利用CF，可求灯柱的高． 【解答】解：（1）由题意知，BF=，则xA=1.5+=2， 代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）． 设点A处的切线方程为y﹣2=k（x﹣2）， 代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0． 则△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k=． 故灯罩轴线的斜率为﹣2，其方程为y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6． （2）由于路宽为10，则当x=时，y=﹣5，从而FD=5． 又CF=1，则CD=6． 答：灯柱的高为6米． 21. 已知等比数列{an}中，a1=，公比q=． （Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn= （Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 参考答案： 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q= ∴an=×=， Sn= 又∵==Sn ∴Sn= （II）∵an= ∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） =﹣（1+2+…+n） =﹣ ∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣ 22. 已知动点P(x,y)与椭圆的两个焦点的连线的斜率之积等于常数(0)。（1）求动点P的轨迹C方程；（2）试根据的取值情况讨论C的形状。 参考答案： 解：（1）由椭圆，得因此焦点为（-1,0），（1,0），依题意有 （2）时，方程为，轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，去掉两点（-1,0），（1，0） 时，方程可化为，轨迹为焦点落在x轴上的双曲线，去掉（-1,0），（1,0）两点 时，方程为（，轨迹为焦点落在x轴上的椭圆，去掉（-1,0），（1,0）两点 时，方程为（，轨迹为焦点落在y轴上的椭圆，去掉（-1,0），（1，0）两点。 略