江西省赣州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）Word版含答案

赣州市2020~2021学年度高二第二学期期末考试 数学试卷（理） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.变量x，y的线性相关系数为，变量m，n的线性相关系数为，下列说法错误的是（ ） A.若，则说明变量x，y之间线性相关性强 B.若，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强 C.若，则说明变量x，y之间的相关性为正相关 D.若，则说明变量x，y之间线性不相关 3.若随机变量X的分布列如右表，则的值为（ ） 1 2 3 A. B.1 C. D. 4.设的导函数为，则的值为（ ） A.0 B. C. D. 5.一个袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，若不放回地依次任取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则在A发生的条件下B发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6.已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的复角，.若复数，其共扼复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的复角为；其中正确的命题个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） A.24 B.48 C.60 D.72 8.记，则的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.128 9.对任意，不等式恒成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10.函数的图象如图所示，其导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11.某次抽奖活动准备了8张奖券，其中标有“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”各一张，另外五张均为“祝你好运”，现有4人来抽奖，每人抽两张，则不同的中奖情况有（ ） A.24 B.60 C.420 D.2520 12.若不等式恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.设随机变量，且，则________________. 14.定积分的值是______________. 15.多项式的展开式中，含的系数为____________. 16.已知. ①当时，恒成立； ②当时，的零点为且； ③当时，是的极值点； ④若有三个零点，则实数k的取值范围为. 以上结论正确的序号是_____________. 三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18~22题每小题12分，共70分） 17.（本小题满分10分） 曲线的参数方程是：（s为参数），曲线的参数方程是：（t为参数）. （1）求曲线，的普通方程； （2）求曲线与曲线所围成的封闭图形的面积. 18.（本小题满分12分） 根据教育部部署，我省从2021年秋季入学的高一新生起推进高考综合改革，将迎来“3+1+2”新高考模式.“3”指的是：语文、数学、英语，统一必考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选考一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选考两科.某中学为了在暑期招聘老师时考虑各学科所需老师数，模拟调查了高一年级2000名学生的选科意向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表： 选考物理 选考历史 共计 男生 45 60 女生 共计 30 （1）补全上表，根据表中数据计算判断是否有90%的把握认为“选考物理与性别有关”？ （2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查本校高一年级的3名学生.设这3人中选考物理的人数为X，求X的分布列及数学期望； 附：，其中 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 19.（本小题满分12分） 在极坐标系中，O为极点，直线l的方程为，直线l与极轴交于点E，且动点F满足，若点F的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）A，B是曲线C上的两动点，且，求的最小值. 20.（本小题满分12分） 已知函数 （1）函数在点处的切线方程是，求a，b的值； （2）当时，在区间上的最小值为，求的解析式. 21.（本小题满分12分） “赣南脐橙名扬天下”，每年脐橙成熟的季节，各大销售商，线上线下发挥各自优势销售脐橙.某电商统计了2016至2020这五年的销售情况（将2016年视为第一年），如下表： 年份x 1 2 3 4 5 销量y（千斤） 5 7 8.5 9.5 10 （1）若每年的销量y与年份x具有较强线性相关性，求y关于x的线性回归方程，并估计今年（2021年）能销售出多少千斤？ （2）根据目前树上的挂果形势，今年的脐橙又将是一个丰收年，该电商为了吸引新老客户，打算在脐橙开采时实施一元一份的“秒杀”抢购活动（每人只有一次机会），每份n斤（，）.现有甲、乙两人将参加这一抢购活动，若他们抢购成功的概率分为p，q，当，记两人共抢购到X斤，求X的数学期望，当取最大值时n的值. 附：回归方程，其中 22.（本小题满分12分） 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：. 赣州市2020~2021学年度第二学期期末考试 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 A B D D C B D A C C B C 二、填空题 13.0.34； 14.； 15.； 16.②④. 三、解答题 17.（1）曲线的普通方程是：.…………………………………………2分 曲线中两式相加得：.……………………………………………………4分 因为，所以. 故曲线的普通方程是：.…………………………………………5分 由，解得两曲线的交点分别是：，.…………………………6分 所以围成的面积是：.…………………………10分 18.（1）补全表格如图.……………………………………2分 根据联表中数据得： 选考物理 选考历史 共计 男生 45 15 60 女生 25 15 40 共计 70 30 100 .………………………………4分 因为，所以没有90%的把握认为“选考物理与性别有关”.…………………………5分 （2）由题意可知，学生选考物理得概率为.………………………………………………6分 X的所有可能取值为0，1，2，3.…………………………………………………………7分 ，， ，.………………11分 所以X的分布列为 0 1 2 3 .……………………………………12分 （直接判断出X服从，的二项分布，对应给分） 19.（1）令得，所以点E的直角坐标为.……………………………………2分 ∵，所以点F的轨迹曲线C为以E为圆心，半径为1的圆.………………………………3分 其极坐标方程为.………………………………………………………………5分 （2）设，， ，.…………………………………………7分 .………………………………………………10分 所以当时，有最小值，最小值为-2.……………………………………12分 20.（1）∵，∴.……………………………1分 因为函数在点处切线方程是， 则有.……………………………………………………3分 解得.………………………………………………………………5分 （2）由上可知，时，∴ 令得，，.………………………………………………6分 ①当即时，有在上恒成立，即在上是增函数， ∴.…………………………………………………………7分 ②当即时，有在上，在上，即在上是减函数，在上是增函数， ∴.……………………………………………………9分 ③当即时，有在上恒成立，即在上是增函数， ∴.………………………………………………………………11分 所以在区间上的最小值的解析式为.………………12分 21.（1），.…………………………1分 .……………………………………4分 .………………………………………………………………………………5分 所以y关于x的线性回归方程为，当时， 估计今年（2021年）能销售出11.75千斤.……………………………………………………6分 （2）X的所有可能取值为0，n，.…………………………………………………………7分 ，， ∴ .………………………………………………9分 令，，得 令得.……………………………………………………10分 所以有在大于零，在小于零，即有在上是增函数，在是减函数，所以的最大值为. 即当时，的最大值为.…………………………………………12分 22.（1）函数定义域为，.………………………………1分 令，所以. ①当时，恒成立，在上单调递减.………………………………2分 ②当时，方程有两根：，， （1）若，，，在上单调递增， 在单调递减.…………………………………………3分 （2）若，，在，上单调递减， 在上单调递增.………………………………4分 综上所述：①当时，在上单调递减； ②当时，在，上单调递减， 在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减.………………5分 （2）由已知得需证，因为，，所以 当时，不等式显然成立.………………………………………………6分 当时，，所以只需证， 即证.……………………………………………………7分 令，则， 令，则.…………………………………………………………8分 所以，，，， 在为增函数，在为减函数.所以.………………9分 令，， 则时，，时，， 所以在上为减函数，在上为增函数，.………………11分 所以，但两边取等的条件不相等，即证得， 所以.…………………………………………………………12分